Limita

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce nebo posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$ a u posloupností $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A$.

Dle toho, zda se uvažuje o funkci nebo o posloupnosti, hovoříme o limitě funkce nebo limitě posloupnosti. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita funkce

Šablona:Podrobně Číslo $A\in ℝ$ je limitou funkce $f:ℝ\to ℝ$ v bodě $a\in ℝ$, jestliže pro libovolné $\epsilon >0$ existuje $\delta >0$ takové, že pro každé $x\in D_f$ takové, že $0<|x-a|<\delta$ ($x$ leží v prstencovém okolí bodu $a$) platí $|f(x)-A|<\epsilon$.

Limita posloupnosti

Šablona:Podrobně Číslo $A\in ℝ$ je limitou posloupnosti $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, jestliže pro libovolné $\epsilon >0$ existuje $n_0\in \mathbb{N}$ takové, že pro každé $n\ge n_0$ platí $|a_n-A|<\epsilon$.

Limita v metrickém prostoru

Prvek $x$ metrického prostoru $X$ s metrikou $\rho$ je limitou posloupnosti jeho prvků $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, právě když platí $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\rho (x_n,x)=0$.

Limita v topologickém prostoru

Šablona:Podrobně Limita zobrazení $f:A\to B$ mezi topologickými prostory $A$ a $B$ je v bodě $a\in A$ definována jako $b\in B$ takové, že pro každé okolí $O(b)$ bodu $b$ existuje okolí $O(a)$ bodu $a$ takové, že $x\in O(a)$ implikuje $f(x)\in O(b)$.

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity topologických sítí. Limita zobrazení nebo topologické sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru je tato limita jednoznačná, tj. každé zobrazení či topologická síť má nejvýše jednu limitu.

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Pokud pro libovolné číslo $\epsilon >0$ lze nalézt prvek posloupnosti, počínaje kterým jsou všechny hodnoty posloupnosti větší než $\epsilon$, říkáme, že posloupnost roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu $+\mathrm{\infty }$. Obdobně se definuje nevlastní limita $-\mathrm{\infty }$.

Pokud pro libovolné číslo $\epsilon >0$ lze nalézt okolí bodu $a$, ve kterém má funkce hodnotu větší než $\epsilon$, říkáme, že v okolí bodu $a$ funkce roste nade všechny meze neboli že má nevlastní limitu $+\mathrm{\infty }$. Obdobně se definuje nevlastní limita $-\mathrm{\infty }$.

Limitou tedy může být nejen reálné číslo, ale i $+\mathrm{\infty }$ nebo $-\mathrm{\infty }$ (rozšířené reálné číslo).

Pokud se hodnoty limity neliší od čísla $A$ o více než libovolné číslo $\epsilon >0$, má funkce v nevlastním bodě $+\mathrm{\infty }$ vlastní limitu $A$. Pokud jsou hodnoty limity větší než libovolné číslo $\epsilon >0$, má funkce v nevlastním bodě $+\mathrm{\infty }$ nevlastní limitu $+\mathrm{\infty }$. Obdobným způsobem lze definovat limitu v nevlastním bodě $-\mathrm{\infty }$.

V každém z nevlastních bodů $+\mathrm{\infty }$ nebo $-\mathrm{\infty }$ může mít funkce vlastní limitu, nevlastní limitu nebo limita nemusí existovat. Příkladem funkce, která nemá limitu v žádném z bodů $+\mathrm{\infty }$ nebo $-\mathrm{\infty }$, je funkce sinus.

Příklady

• 
  Graf funkce $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$. Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.
• 
  Graf funkce $f(x)=\frac{1}{x}$. Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v $\pm \mathrm{\infty }$.
• 
  Graf funkce $f(x)=\frac{1}{x^2}$. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu $+\mathrm{\infty }$ v bodě nula a má vlastní limity 0 v $\pm \mathrm{\infty }$.

• Funkce $\frac{\sin x}{x}$ není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1Šablona:Poznámka (vlastní limita ve vlastním bodě) a v $+\mathrm{\infty }$ má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
• Funkce $\sin \frac{1}{x}$ ani $\frac{\sin \frac{1}{x}}{x}$ v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích $\frac{1}{x}$ či $\frac{1}{x^3}$, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je $+\mathrm{\infty }$ a levostranná $-\mathrm{\infty }$.
• Funkce $\frac{1}{x^2}$ a $\frac{1}{x^4}$ mají v nule limitu $+\mathrm{\infty }$ (nevlastní limita ve vlastním bodě).
• Funkce $\sin x$ má v nule limitu 0 a v $+\mathrm{\infty }$ limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci $x\cdot \sin x$.
• Funkce $e^x$ má v $-\mathrm{\infty }$ limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v $+\mathrm{\infty }$ limitu $+\mathrm{\infty }$.

Související články

• Limita funkce
• Limita posloupnosti
• Okolí (matematika)

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Otto