Maxwellův tenzor

V elektrodynamice se pojmem Maxwellův tenzor označuje tenzor napětí vyjadřující tok hybnosti elektromagnetického pole zvolenou plochou. V jednotkách SI je pro izotropní prostředí dán vztahem

σ = \frac{1}{2} δ (𝐄 \cdot 𝐃 + 𝐇 \cdot 𝐁) - 𝐄 \otimes 𝐃 - 𝐇 \otimes 𝐁,

kde δ značí jednotkový tenzor druhého řádu, resp. analogicky ve složkách jako

σ_{i j} = \frac{1}{2} δ_{i j} (E_{k} D_{k} + H_{k} B_{k}) - E_{i} D_{j} - H_{i} B_{j} .

S pomocí Maxwellova tenzoru lze formulovat zákon zachování hybnosti pro elektromagnetické pole jako rovnici kontinuity

\frac{\partial 𝐠}{\partial t} + d i v σ = - 𝐟,

kde $𝐟$ je hustota síly působící na daný objem a $𝐠 = 𝐃 \times 𝐁$ je hustota hybnosti elektromagnetického pole. Analogicky ve složkách

\frac{\partial g_{i}}{\partial t} + \frac{\partial σ_{i j}}{\partial x_{j}} = - f_{i} .

Tenzor elektromagnetického pole

V teorii relativity se používá obecnější tenzor, který se označuje jako tenzor elektromagnetického pole.

A_{ι} = (φ, - c 𝐀)

,

F_{ι κ} = \frac{\partial A_{κ}}{\partial x^{ι}} - \frac{\partial A_{ι}}{\partial x^{κ}}

pro $ι, κ = 0, 1, 2, 3$ . Tento tenzor se nazývá tenzorem elektromagnetického pole.

Složky tenzoru elektromagnetického pole je možné vyjádřit prostřednictvím složek elektrické intenzity $𝐄$ a magnetické intenzity $𝐇$

F_{ι κ} = (\begin{matrix} 0 & - E_{1} & - E_{2} & - E_{3} \\ E_{1} & 0 & H_{3} & - H_{2} \\ E_{2} & - H_{3} & 0 & H_{1} \\ E_{3} & H_{2} & - H_{1} & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - E_{i} \\ E_{k} & H_{i k} \end{matrix})

,

kde $ι, κ = 0, 1, 2, 3$ a $i, k = 1, 2, 3$ .

F^{ι κ} = (\begin{matrix} 0 & E^{1} & E^{2} & E^{3} \\ - E^{1} & 0 & H^{3} & - H^{2} \\ - E^{2} & - H^{3} & 0 & H^{1} \\ - E^{3} & H^{2} & - H^{1} & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & E^{i} \\ - E^{k} & H^{i k} \end{matrix})