Transpozice matice

Transponovanou matici ${𝑨}^{\mathrm{T}}$ k matici $𝑨$ lze získat převrácením prvků podél její hlavní diagonály. Opakovaná operace transpozice na transponované matici vrátí prvky do původní polohy.

V lineární algebře se matice, která vznikne z matice $𝑨$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici $𝑨$ a obvykle se značí ${𝑨}^{\mathrm{T}}$. Odpovídající operace je tzv. transpozice matice.

Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley. Reprezentuje-li matice $𝑨$ binární relaci, pak její transpozice ${𝑨}^{\mathrm{T}}$ odpovídá inverzní relaci.

Definice

Matici transponovanou k matici $𝑨$ lze získat libovolnou z následujících metod:

1. Převrácením $𝑨$ podél její hlavní diagonály nebo
2. zápisem řádků $𝑨$ do sloupců ${𝑨}^{\mathrm{T}}$nebo
3. zápisem sloupců $𝑨$ do řádků ${𝑨}^{\mathrm{T}}$.

Formálně, pro jednotlivé prvky transponované matice platí:

$({𝑨}^{\mathrm{T}}{)}_{ij}=a_{ji}$

Pokud má matice $𝑨$ rozměry $(m,n)$, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech $(n,m)$.

Symbol $\mathrm{T}$ je rezervován pro označení transpozice a neměl by být zaměňován s jiným významem horního indexu, jako např. název proměnné $i$ ve výrazu ${𝑨}^i$, znamenajícím $i$-tou mocninu čtvercové matice $𝑨$.

Ukázky

• Transpozicí matice $𝑨=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right)$ vznikne ${𝑨}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 5\\ 2& 6\\ 3& 7\end{array}\right)$.
• ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$

Definice matic využívající transpozici

Čtvercová matice, jenž je rovna své transpozici, se nazývá symetrická matice; čili $𝑨$ je symetrická, pokud

${𝑨}^{\mathrm{T}}=𝑨$.

Čtvercová matice, jenž je rovna záporu své transpozice, se nazývá antisymetrická matice; čili $𝑨$ je antisymetrická, pokud

${𝑨}^{\mathrm{T}}=-𝑨$.

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je rovna matici, kde každý prvek je nahrazen k němu komplexně sdruženým číslem, se nazývá hermitovská matice; čili $𝑨$ je hermitovská, pokud

${𝑨}^{\mathrm{T}}=\overline{𝑨}$.

Čtvercová matice, jejíž transpozice se shoduje s její inverzní matici, se nazývá ortogonální matice; čili $𝑨$ je ortogonální, pokud

${𝑨}^{\mathrm{T}}={𝑨}^{-1}$.

Vlastnosti

• Dvojitá transpozice matice je opět původní matice:

${\left({𝑨}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=𝑨$,

neboli operace transpozice je involuce.

• Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice:

$(c𝑨{)}^{\mathrm{T}}=c{𝑨}^{\mathrm{T}}$

neboli transpozice zachovává skalární násobek matic.

• Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:

$(𝑨+𝑩{)}^{\mathrm{T}}={𝑨}^{\mathrm{T}}+{𝑩}^{\mathrm{T}}$

neboli transpozice zachovává součet matic.

• Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:

${\left(𝑨𝑩\right)}^{\mathrm{T}}={𝑩}^{\mathrm{T}}{𝑨}^{\mathrm{T}}$

Indukcí lze tento vztah rozšířit na součin více matic: $({𝑨}_1{𝑨}_2\cdots {𝑨}_k{)}^{\mathrm{T}}={𝑨}_k^{\mathrm{T}}\cdots {𝑨}_2^{\mathrm{T}}{𝑨}_1^{\mathrm{T}}$

• Z předchozího vztahu vyplývá, že čtvercová matice $𝑨$ je regulární, právě když je regulární ${𝑨}^{\mathrm{T}}$. V tomto případě platí, že transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:

${\left({𝑨}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}={\left({𝑨}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\right)}^{\mathrm{T}}$

• Skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů $𝒖$ a $𝒗$ lze spočítat jako jediný prvek maticového součinu:

$⟨𝒖|𝒗⟩={𝒖}^{\mathrm{T}}𝒗$

• Determinant čtvercové matice se transpozicí nezmění:

$\det \left({𝑨}^{\mathrm{T}}\right)=\det 𝑨$

• Vlastní čísla čtvercové matice $𝑨$ se shodují s vlastními čísly její transpozice ${𝑨}^{\mathrm{T}}$, protože obě matice mají totožný charakteristický polynom.
• Pro libovolnou matici platí, že obě matice ${𝑨}^{\mathrm{T}}𝑨$ i $𝑨{𝑨}^{\mathrm{T}}$ jsou symetrické. Symetrie matice $𝑨{𝑨}^{\mathrm{T}}$prostě plyne ze skutečnosti, že je sama sobě transpozicí:

${\left(𝑨{𝑨}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}={\left({𝑨}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}{𝑨}^{\mathrm{T}}=𝑨{𝑨}^{\mathrm{T}}$.

• Je-li navíc $𝑨$ reálná matice, pak obě matice ${𝑨}^{\mathrm{T}}𝑨$ i $𝑨{𝑨}^{\mathrm{T}}$ jsou pozitivně semidefinitní.

Implementace maticové transpozice na počítačích

Ilustrace řádkového a sloupcového pořadí prvků matice

Na počítači se lze často vyhnout výpočtu a ukládání transpozice matice v paměti pouhým přístupem ke stejným datům, ale jen v jiném pořadí. Například softwarové knihovny pro lineární algebru, jako je BLAS, obvykle poskytují možnosti, jak určit, že určité matice mají být interpretovány v transponovaném pořadí, aby se předešlo nutnosti přesunu dat.

V řadě případů je však nutné nebo žádoucí fyzicky přeuspořádat matici v paměti na její transpozici. Například s maticí uloženou v pořadí po řádcích jsou řádky matice v paměti souvislé a sloupce nesouvislé. Pokud je třeba provádět opakované operace se sloupci, například v rychlé Fourierově transformaci, může transpozice matice v paměti (aby sloupce byly souvislé) zrychlit výpočet díky principu lokality paměti.

Ve výpočtech je vhodné provádět transpozici matici s minimálními dodatečnými paměťovými nároky. To vede k problému transpozice matice typu $m\times n$ na místě, neboli s dodatečnou pamětí konstantní velikosti, případně o velikosti mnohem menší než udává součin $mn$ odpovídající alokaci paměti pro celou transponovanou matici. V případě, že $m\ne n$, jde o složitou permutaci uložených dat, jejíž implementace na místě není triviální. Efektivní transpozice matice na místě se stala předmětem četných výzkumných publikací v teoretické informatice už koncem 50. let 20. století.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Inverzní matice
• Násobení matic
• Matice

Externí odkazy

• Eduard Krajník - Maticový počet Šablona:Wayback