Rovnoběžnostěn

Rovnoběžnostěn

Rovnoběžnostěn je čtyřboký hranol, jehož podstavou je rovnoběžník. Mezi rovnoběžnostěny patří např. kvádr, krychle nebo klenec.

Povrch

Povrch rovnoběžnostěnu je tvořen součtem obsahů šesti rovnoběžníků, z nichž každé dva protilehlé jsou shodné. Užitím vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku v trojrozměrném prostoru dostáváme

$P=2\left[\right((𝐚\times 𝐛)\cdot (𝐚\times 𝐛){)}^{1/2}+((𝐛\times 𝐜)\cdot (𝐛\times 𝐜){)}^{1/2}+((𝐜\times 𝐚)\cdot (𝐜\times 𝐚){)}^{1/2}]$

kde $𝐚,𝐛,𝐜$ jsou tři různoběžné stranové vektory, "$\times$" značí vektorový součin dvou vektorů a "$\cdot$" značí skalární součin dvou vektorů.

Zobecněním vektorového součinu do $n$-rozměrného prostoru (jedná se o součin $(n-1)$ lineárně nezávislých vektorů délky $n$, jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat $(n-1)$-rozměrný nadpovrch libovolného $n$-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.

Objem

Objem rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu (tří různoběžných) stranových vektorů

$V=|(𝐚\times 𝐛)\cdot 𝐜|=|(𝐛\times 𝐜)\cdot 𝐚|=|(𝐜\times 𝐚)\cdot 𝐛|.$

Pokud jsou vrcholy $A,B,C,D,E,F,G,H$ rovnoběžnostěnu zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. $A=(x_A,y_A,z_A)$, $B=(x_B,y_B,z_B)$ atd., lze objem rovnoběžnostěnu vyjádřit po složkách. Je roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných čtyř vrcholů neležících v jedné rovině takto

$V=|\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_D-x_A& x_B-x_A& x_E-x_A\\ y_D-y_A& y_B-y_A& y_E-y_A\\ z_D-z_A& z_B-z_A& z_E-z_A\end{array}\right)|.$

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol $A$ s počátkem souřadného systému, tj. $A=(0,0,0)$, pak tedy

$V=|x_D{y}_B{z}_E+x_B{y}_E{z}_D+x_E{y}_D{z}_B-x_D{y}_E{z}_B-x_B{y}_D{z}_E-x_E{y}_B{z}_D|.$

Zcela analogicky lze spočítat obsah libovolného rovnoběžníku, resp. nadobjem libovoného $n$-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.

Související články

• Hranol
• Rovnoběžník

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat