Úplný metrický prostor

Šablona:Různé významy Metrický prostor, tj. množina vybavená nějakou metrikou, je označován jako úplný, pokud v něm každá posloupnost, která je (v dané metrice) cauchyovská, má v této metrice limitu, tj. je konvergentní.

V každém metrickém prostoru jsou konvergentní posloupnosti vždy cauchyovské, jak plyne z trojúhelníkové nerovnosti. Opačně to neplatí například pro metrický prostor racionálních čísel s obvyklou metrikou (která dvěma číslům přiřadí absolutní hodnotu jejich rozdílu). V něm nemá limitu např. posloupnost $3$, $3.1$, $3.14$, $3.141$, $3.1415$..., která v metrickém prostoru reálných čísel konverguje k Ludolfovu číslu $\pi$, které je iracionální.

Z toho plyne, že racionální čísla nejsou úplným prostorem; lze však dokázat, že reálná čísla úplná jsou.

Úplný obal

Ke každému metrickému prostoru $(𝐌,\rho )$ existuje takový úplný metrický prostor ${𝐌}^{*}$, že $𝐌$ je možné izometricky zobrazit na jeho podprostor $\widetilde{𝐌}$ hustý v ${𝐌}^{*}$. Prostor ${𝐌}^{*}$ nazýváme úplným obalem metrického prostoru $𝐌$.

Platí, že pokud jsou $({𝐌}^{*},{\rho }_1),({𝐌}^{**},{\rho }_2)$ úplné obaly metrického prostoru $(𝐌,\rho )$, pak existuje izometrické zobrazení $f:{𝐌}^{*}\to {𝐌}^{**}$.

Vlastnosti

• Úplný metrický prostor není sjednocením spočetného systému řídkých množin.

• Je-li metrický prostor kompaktní, pak je i úplný.

• Metrický prostor X je úplný právě tehdy, když každá posloupnost do sebe zanořených uzavřených neprázdných podmnožin X, s poloměry jdoucími k 0, má neprázdný (přesněji jednobodový) průnik: jestliže F_n je uzavřená a neprázdná, Šablona:Nowrap pro každé n, a diam(F_n) → 0, pak existuje x ∈ X náležející každé množině  F_n.
• Uzavřený podprostor úplného prostoru je úplný.
• Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
• Banachova věta o kontrakci říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Příklady úplných prostorů

• Prostor reálných čísel $ℝ$ s euklidovskou metrikou je úplný. Stejně tak prostor komplexních čísel $ℂ$ s metrikou danou absolutní hodnotou je úplný.
• Každý normovaný vektorový prostor konečné dimenze s metrikou indukovanou normou, tzn: $\rho (a,b)=\Vert a-b\Vert$ je úplný. Předchozí příklad je vlastně speciálním případem tohoto faktu.
• Každý metrický prostor s diskrétní metrikou je úplný, neboť v této metrice jsou cauchyovské pouze posloupnosti, které jsou od jistého indexu konstantní (a tedy jsou konvergentní).
• Prostor všech spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $C(⟨a,b⟩)$ s metrikou

  $\rho (f,g)=\underset{a\le x\le b}{\max }|g(x)-f(x)|$

je úplný.

Příklady neúplných prostorů

• Prostor racionálních čísel (s eukleidovskou metrikou) není úplný metrický prostor. Příkladem budiž posloupnost racionálních čísel $a_1=2$, $a_2=2,7$, $a_3=2,71$, $a_4=2,718$, $a_5=2,7182$ a dále dle desetinného rozvoje cisla $e$, která je cauchyovská, ale její limitou je Eulerovo číslo, což je číslo iracionální. Posloupnost tedy není konvergentní v prostoru racionálních čísel.
• Jakýkoli (omezený) otevřený či polouzavřený interval na reálné ose je neúplný. Například na intervalu $(0,1⟩$ není konvergentní posloupnost

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\dots$

ačkoli je konvergentní v oboru všech reálných čísel.

Související články

• Banachův prostor – Úplný vektorový prostor.
• Banachova věta o pevném bodě
• Uzavřená množina
• Metrický prostor
• Kompaktní množina