Reciproký polynom

Reciproký polynom je mnohočlen vyznačující se symetrií svých koeficientů (i kořenů). Tato vlastnost pak pomáhá určit některé jeho kořeny.

Nechť je dán mnohočlen

$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0,a_n\ne 0.$

pak jej nazýváme

• reciproký mnohočlen 1. druhu (kladně reciproký), jestliže  $a_k=a_{n-k},k=0,1,\dots ,n$
• reciproký mnohočlen 2. druhu (záporně reciproký), jestliže  $a_k=-a_{n-k},k=0,1,\dots ,n$

Kořeny

Z definice reciprokého polynomu plyne, že je-li kořenem číslo $c$, potom je kořenem také převrácené (reciproké) číslo $\frac{1}{c}$, odtud název. Reciproký polynom zřejmě nemůže mít nulový kořen.

Naopak pokud tato podmínka platí pro všechny kořeny mnohočlenu, musí se již jednat o reciproký mnohočlen.

Hledání kořenů reciprokého polynomu je hledáním řešení reciproké rovnice.

Reciproký polynom druhého druhu má vždy kořen $c=1$.

Reciproký polynom prvního druhu lichého stupně má kořen $c=-1$.

U polynomu prvního druhu sudého stupně se používá substituce:

$y=x+\frac{1}{x}$

Literatura

• Emanovský P. (1998). Cvičení z algebry (polynomy, algebraické rovnice). VUP Olomouc. Šablona:ISBN
• Emanovský P. (2002). Algebra 2, 3 (pro distanční studium). VUP Olomouc.
• BLAŽEK J., KOMAN M., VOJTÁŠKOVÁ (1985). Algebra a teoretická aritmetika, II. díl. Praha: SPN.