Čebyševova nerovnost

Čebyševovy nerovnosti se využívají v teorii pravděpodobnosti k důkazu centrálních limitních vět a zákona velkých čísel.

Čebyševova nerovnost I. typu

Čebyševovou nerovností I. typu označujeme tvrzení, že pro libovolnou nezápornou náhodnou veličinu $X$ se střední hodnotou $\mathrm{E}(X)$ je pravděpodobnost, že veličina $X$ nabude alespoň hodnoty $\epsilon$ omezena podmínkou

$P(X\ge \epsilon )\le \frac{\mathrm{E}(X)}{\epsilon }$

pro všechna $\epsilon >0$. (Tato nerovnost se někdy v literatuře označuje jako Markovova.)

Čebyševova nerovnost II. typu

Pro libovolnou náhodnou veličinu $X$ se střední hodnotou $\mathrm{E}(X)$ a rozptylem $D(X)$ je pravděpodobnost, že absolutní hodnota $|X-\mathrm{E}(X)|$ nabude hodnoty menší než libovolné $\epsilon >0$ omezena Čebyševovou nerovností II. typu

$P(|X-\mathrm{E}(X)|<\epsilon )\ge 1-\frac{D(X)}{{\epsilon }^2}$

nebo také

$P(|X-\mathrm{E}(X)|<\epsilon \cdot \sigma )\ge 1-\frac{1}{{\epsilon }^2}$

kde $\sigma =\sqrt{D(X)}$

Odkazy

Související články

• Zákon velkých čísel
• Hoeffdingova nerovnost
• Centrální limitní věta
• Čebyševova nerovnost pro konečné součty

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat