Úzká relace

Úzká relace je matematický pojem z oblasti teorie množin.

Definice

Nechť R je binární třídová (tj. R je libovolná, i vlastní, třída) relace. Označíme-li $R^{-1}[y]=\{x;xRy\}$, můžeme definovat, že relace R je úzká právě tehdy, když $R^{-1}[y]$ je množina pro každé Šablona:Var.

Příklady

• Pro $R=\in$ platí $R^{-1}[y]=y$, tedy $\in$ je úzká relace.
• Každá množinová binární relace (tj. taková, která je množinou) je úzká.

Mostowského věta o kolapsu

Mostowského věta o kolapsu říká, že úzkost je jednou ze (tří) základních vlastností relace $\in$, které tuto relaci do jisté míry jednoznačně charakterizují. Zní takto:

Nechť Šablona:Var je relace úzká, extenzionální a fundovaná na třídě Šablona:Var. Pak existuje právě jedna tranzitivní třída Šablona:Var taková, že struktury $⟨A;R⟩$ a $⟨T;\in ⟩$ jsou izomorfní (tj. existuje $\varphi :A\to T$ bijekce, že $xRy\iff \varphi (x)\in \varphi (y)$).

Související články

• Relace
• Extenzionální relace
• Fundovaná relace