Základní věta aritmetiky

Základní věta aritmetiky je matematická věta z oboru aritmetiky, která tvrdí, že každé přirozené číslo větší než 1 lze rozložit na součin prvočísel, a to jednoznačně až na jejich pořadí.

Přesná formulace

Pro každé přirozené číslo $c$ existuje právě jedna skupina celých kladných čísel $n,m_1,m_2,\dots ,m_n$ a právě jedna skupina podle velikosti seřazených prvočísel: $p_1<p_2<\dots <p_n$ tak, že
$p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdot p_3^{m_3}\cdot \dots \cdot p_n^{m_n}=c$

Nástin důkazu

Tvrzení se dokazuje matematickou indukcí:

• pro prvočísla (a tedy i konkrétně pro číslo 2) věta triviálně platí – prvočíslo p lze rozložit právě jedním způsobem: $p=p^1$
• pokud platí pro všechna $i\le x$, pak $x+1$ je buď prvočíslo (viz výše), nebo součin nějakých dvou menších čísel – spojením jejich jednoznačných prvočíselných rozkladů vznikne určitě minimálně jeden rozklad
• zbývá ukázat, že tento rozklad je jednoznačný, tedy stejný, ať je součin zvolen jakýmkoliv způsobem – dokazuje se sporem (pokud pro $x+1$ existují dva různé rozklady, pak musely existovat dva různé rozklady také pro nějaké menší číslo, což je ve sporu s indukčním předpokladem)

Související články

• Prvočíslo
• Prvočíselný rozklad
• Největší společný dělitel
• Nejmenší společný násobek

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat