Zlatý prostorový úhel

Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:

$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\beta }{4\pi }$ - myšleno v steradiánech

$\alpha +\beta =4\pi$

Výpočet

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez ($\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

$\beta =\phi \alpha$

$4\pi =\phi \beta$

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

$4\pi ={\phi }^2\alpha$

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:

$\frac{4\pi }{{\phi }^2}=\alpha$

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\beta }{4\pi }$

$\alpha +\beta =4\pi$

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

$\beta =4\pi -\alpha$

$\frac{\alpha }{4\pi -\alpha }=\frac{4\pi -\alpha }{4\pi }$

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

$4\pi \alpha =16{\pi }^2-8\pi \alpha +{\alpha }^2$

$0=16{\pi }^2-12\pi \alpha +{\alpha }^2$

A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α₁ a α₂.

${\alpha }_{1,2}=\frac{12\pi \pm \sqrt{80}\pi }{32}$

${\alpha }_1=\frac{12\pi +\sqrt{80}\pi }{32}=\frac{\sqrt{14}\pi }{8}$

${\alpha }_2=\frac{12\pi -\sqrt{80}\pi }{32}=\frac{\pi }{4}$

Související články

• Zlatý řez
• Zlatý úhel
• Prostorový úhel