Zlatý úhel

Zlatý úhel

Zlatý úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kruh na dva úhly (přesněji řečeno na kruhové výseče) α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celému kruhu:

$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\beta }{360^{\circ }}$

$\alpha +\beta =360^{\circ }$

Menší úhel α se označuje řeckým písmenem ψ a rovná se přibližně 137,51° (≈ 2,40 radiánu).

Výpočet

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (φ ≈ 1,618), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

$\beta =\phi \alpha$ respektive $\beta =\phi \psi$

$360^{\circ }=\phi \beta$

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

$360^{\circ }={\phi }^2\alpha$ respektive $360^{\circ }={\phi }^2\psi$

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého úhlu ψ:

$\psi =\frac{360^{\circ }}{{\phi }^2}\approx 137,51^{\circ }$

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého úhlu ψ jinak. V následujícím postupu, který je velmi podobný výpočtu hodnoty zlatého řezu, jsou použity radiány místo stupňů (2π rad = 360°) a je počítána velikost úhlu α, který vlastně představuje hledaný zlatý úhel.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\beta }{2\pi }$

$\alpha +\beta =2\pi$

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

$\beta =2\pi -\alpha$

$\frac{\alpha }{2\pi -\alpha }=\frac{2\pi -\alpha }{2\pi }$

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

$2\pi \alpha ={(2\pi -\alpha )}^2$

Umocníme závorku a převedeme na jednu stranu.

$2\pi \alpha =4{\pi }^2-4\pi \alpha +{\alpha }^2$

${\alpha }^2-6\pi \alpha +4{\pi }^2=0$

Z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α₁ a α₂.

${\alpha }_{1,2}=\frac{6\pi \pm \sqrt{36{\pi }^2-16{\pi }^2}}{2}$

${\alpha }_1=\pi (3+\sqrt{5})\doteq 5,24\pi \doteq 16,45rad$

${\alpha }_2=\pi (3-\sqrt{5})\doteq 0,76\pi \doteq 2,40rad$

Je zřejmé, že první kořen α₁ je větší než 2π. Tím pro nás ztrácí praktický význam a zanedbáme jej. Získáváme tak hledanou velikost zlatého úhlu ψ.

$\psi \doteq 2,4000rad\doteq 137,51^{\circ }$

Biologie

Zlatý úhel je důležitou veličinou v biologii. Listy, které postupně rostou jeden za druhým, se nacházejí na hustě svinuté tzv. genetické spirále. Při pohledu zvrchu lze sledovat úhel mezi spojnicemi středu stonku a následných listů. Všechny listy vyrůstají zhruba ve stejném úhlu kolem středu. Tento úhel se blíží zlatému úhlu.

Podobně vyrůstají například i jednotlivé okvětní lístky květu růže nebo jednotlivá semena na květu slunečnice.

Související články

• Zlatý řez
• Zlatý prostorový úhel

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat