Vrcholové pokrytí

V matematické disciplíně teorie grafů je vrcholové pokrytí grafu taková podmnožina vrcholů, že každá hrana grafu je incidentní aspoň s jedním vrcholem z této množiny.

Minimální vrcholové pokrytí je klasický problém teoretické informatiky a je příkladem NP-úplnosti. Lze ho formulovat jako napůl celočíselný lineární program jehož duálním lin. programem je maximální párování grafu.

Definice

Formálně, vrcholové pokrytí grafu G je množina C jeho vrcholů taková, že každá hrana z G je incidentní aspoň s jedním vrcholem z C. Množina C se nazývá pokrytí hran grafu G.

Příklady vrcholového pokrytí

• Množina všech vrcholů každého grafu.
• Koncové vrcholy maximálního párování tvoří vrcholové pokrytí.
• Úplný bipartitní graf $K_{m,n}$ má minimální pokrytí velikosti $\tau (K_{m,n})=\min (m,n)$.

Vlastnosti

• Nějaká podmnožina vrcholů je vrcholovým pokrytím, právě když její doplněk je nezávislou množinou. Z toho rovněž plyne:
• Počet vrcholů grafu je roven velikosti minimálního vrcholového pokrytí + velikost max. nezávislé množiny (Gallai 1959).