Věty o dimenzi

V lineární algebře se dokazují dvě užitečná tvrzení svazující dimenze jistých podprostorů vektorového prostoru. Mějme vektorový prostor V nad nějakým tělesem. První tvrzení dává do souvislosti dimenze dvou vektorových podprostorů prostoru V a dimenzí jejich součtu a průniku - tzv. první věta o dimenzi zvaná též věta o dimenzích součtu a průniku podprostorů. Druhé tvrzení pak udává vztah mezi dimenzemi jádra a oboru hodnot libovolného lineárního zobrazení (konečněrozměrného) mezi dvěma vektorovými prostory - tzv. druhá věta o dimenzi, nazývaná také věta o dimenzích jádra a obrazu.

První věta o dimenzi

Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $𝕋$. Dále nechť $P$ a $Q$ jsou podprostory prostoru $V$ konečných dimenzí, tj. $P\subset V$, $\dim P<\mathrm{\infty }$ a $Q\subset V$, $\dim Q<\mathrm{\infty }$. Pak platí

$\dim (P+Q)+\dim (P\cap Q)=\dim P+\dim Q.$

Pro direktní součet podprostorů pak speciálně

$\dim (P\oplus Q)=\dim P+\dim Q.$

Důkaz

Pokud je $P$ podprostor prostoru $Q$, tj. $P\subset Q$, tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak $Q=P+Q$, $P=P\cap Q$ a $\dim P=\dim (P\cap Q)$, $\dim Q=\dim (P+Q)$. Totožně by se postupovalo, byl-li by $Q$ podprostorem $P$. Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží nulový vektor, můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik $P\cap Q=\{\overrightarrow{0}\}$ a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože průnik podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik $P$ a $Q$ je netriviální podprostor. Z konečnosti dimenzí $P$ a $Q$ musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť $\dim (P\cap Q)=n<+\mathrm{\infty }$. V $P\cap Q$ tedy existuje $n$-členná báze $\{{\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n\}$. Nechť $\dim P=p<+\mathrm{\infty }$ a $\dim Q=q<+\mathrm{\infty }$. Je zřejmé, že $n<p,n<q$. Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů $P$ a $Q$. Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože $P\cap Q\subset P$ a $P\cap Q\subset Q$, lze zřejmě doplnit bázi průniku $P\cap Q$ jednak na bázi prostoru $P$, jednak na bázi prostoru $Q$. Označme bázi prostoru $P$ a prostoru $Q$ po řadě

$\{{\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n,{\overrightarrow{e}}_1^P,\dots ,{\overrightarrow{e}}_{p-n}^P\},\{{\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n,{\overrightarrow{e}}_1^Q,\dots ,{\overrightarrow{e}}_{q-n}^Q\},$

kde jsme vektory ${\overrightarrow{e}}_i^P$, resp. ${\overrightarrow{e}}_i^Q$, doplnily bázi průniku na bázi prostoru $P$, resp. $Q$.

Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů $P+Q$ (součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů

$ℰ=\{{\overrightarrow{e}}_1,\dots ,{\overrightarrow{e}}_n,{\overrightarrow{e}}_1^P,\dots ,{\overrightarrow{e}}_{p-n}^P,{\overrightarrow{e}}_1^Q,\dots ,{\overrightarrow{e}}_{q-n}^Q\}$

je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor $P+Q$ a současně musí být lineárně nezávislá. První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor

$\overrightarrow{0}={\alpha }_1{\overrightarrow{e}}_1+\dots +{\alpha }_n{\overrightarrow{e}}_n+{\beta }_1{\overrightarrow{e}}_1^P+\dots +{\beta }_{p-n}{\overrightarrow{e}}_{p-n}^P+{\gamma }_1{\overrightarrow{e}}_1^Q+\dots +{\gamma }_{q-n}{\overrightarrow{e}}_{q-n}^Q=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{e}}_i+\sum _{i=1}^{p-n}{\beta }_i{\overrightarrow{e}}_i^P+\sum _{i=1}^{q-n}{\gamma }_i{\overrightarrow{e}}_i^Q.$

Chceme ukázat, že všechny koeficienty ${\alpha }_i,{\beta }_i,{\gamma }_i$ už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{e}}_i+\sum _{i=1}^{p-n}{\beta }_i{\overrightarrow{e}}_i^P=-\sum _{i=1}^{q-n}{\gamma }_i{\overrightarrow{e}}_i^Q.$

Na levé straně máme vektor z prostoru $P$, na druhé straně rovnosti pak vektor z $Q$. Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku $P\cap Q$. Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci

$\sum _{i=1}^n{\tilde{\alpha }}_i{\overrightarrow{e}}_i,$

pro jisté koeficienty ${\tilde{\alpha }}_i$. Dostáváme tak dvě rovnosti

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\overrightarrow{e}}_i+\sum _{i=1}^{p-n}{\beta }_i{\overrightarrow{e}}_i^P=\sum _{i=1}^n{\tilde{\alpha }}_i{\overrightarrow{e}}_i,\sum _{i=1}^n{\tilde{\alpha }}_i{\overrightarrow{e}}_i=-\sum _{i=1}^{q-n}{\gamma }_i{\overrightarrow{e}}_i^Q,$

které si můžeme zapsat způsobem

$\sum _{i=1}^n({\alpha }_i-{\tilde{\alpha }}_i){\overrightarrow{e}}_i+\sum _{i=1}^{p-n}{\beta }_i{\overrightarrow{e}}_i^P=\overrightarrow{0},\sum _{i=1}^n{\tilde{\alpha }}_i{\overrightarrow{e}}_i+\sum _{i=1}^{q-n}{\gamma }_i{\overrightarrow{e}}_i^Q=\overrightarrow{0}.$

První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru $P$ rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru $Q$. Máme tedy

$(\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\})({\alpha }_i-{\tilde{\alpha }}_i=0)\wedge (\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,p-n\})({\beta }_i=0),(\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\})({\tilde{\alpha }}_i=0)\wedge (\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,q-n\})({\gamma }_i=0).$

Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina $ℰ$ je bází prostoru $P+Q$. Protože tato báze obsahuje $n+(p-n)+(q-n)$ vektorů, máme $\dim (P+Q)=p+q-n$. Celkově

$\dim (P+Q)+\dim (P\cap Q)=(p+q-n)+n=p+q=\dim P+\dim Q,$

což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy $P\cap Q=\{\overrightarrow{0}\}$. (To je ekvivalentní tomu, že součet prostorů $P$ a $Q$ je direktní.) Platí tedy $\dim (P\cap Q)=0$. Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že $\dim (P+Q)=p+q=\dim P+\dim Q.$

Příklad

Uvažujme vektorový prostor ${ℝ}^5$ s klasicky definovanými operacemi sčítání a násobení vektoru číslem. Mějme v tomto prostoru dva lineární obaly tvaru

$P={\{\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 3\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 2\\ 0\end{array}\right)\}}_{\text{lin}},Q={\{\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\\ 3\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\\ 0\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right)\}}_{\text{lin}}.$

Není těžké ukázat, že generátory lineárního obalu $P$ (tj. vektory vyobrazené ve složených závorkách) jsou lineárně nezávislé. Dimenze podprostoru $P$ je tedy 3 (mám tři lineárně nezávislé generátory). Podobně pro obal $Q$. Z první věty o dimenzi plyne, že

$\dim P+\dim Q=3+3=6=\dim (P+Q)+\dim (P\cap Q).$

Protože je ale součet $P+Q$ stále podprostorem pětidimenzionálního vektorového prostoru ${ℝ}^5$, nemůže jeho dimenze přesáhnout hodnotu 5. Ze vzorce výše tedy rovnou plyne, že průnik $P\cap Q$ je podprostor dimenze alespoň jedna. Existuje tedy nenulový vektor ležící v $P$ a současně v $Q$. Tuto skutečnost jsme tedy odvodili čistě ze znalostí dimenzí podprostorů $P$ a $Q$, aniž bychom blíže zkoumali jejich vlastnosti.

Druhá věta o dimenzi

Nechť $P$ a $Q$ jsou dva vektorové prostory nad stejným číselným tělesem $𝕋$ a nechť $A$ je lineární zobrazení prostoru $P$ do prostoru $Q$, tj. $A\in ℒ(P,Q)$. Dále nechť $P$ má konečnou dimenzi, tj. $\dim P<\mathrm{\infty }$. Pak platí vztah

$\dim \ker A+\dim \text{ran}A=\dim P,$

kde $\ker A$ značí jádro zobrazení A a $\text{ran}A$ jeho obor hodnot.

Důkaz

Označme si $\dim P=n$. Lze ukázat, že vzor množiny lineárně nezávislých vektorů při lineárním zobrazení je opět soubor lineárně nezávislých vektorů. To znamená, že kdyby v množině $A(P)$ (tj. vzoru prostoru $P$ při zobrazení $A$) bylo více než $n$ lineárně nezávislých vektorů, tak je tolik lineárně nezávislých vektorů i v prostoru $P$, což je spor s tím, že dimenze $P$ je $n$. Dimenze obrazu zobrazení $A$ je tedy konečná a není větší než $n$. Označme si tuto dimenzi jako $k$. V $A(P)$ tedy existuje $k$-členná báze, označme si bazické vektory jako ${\overrightarrow{y}}_1,\dots ,{\overrightarrow{y}}_k$. Vektory ${\overrightarrow{x}}_i$ z prostoru $P$ takové, že $(\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,k)(A{\overrightarrow{x}}_i={\overrightarrow{y}}_i)$ (tj. vzory ${\overrightarrow{y}}_i$ při zobrazení $A$) tvoří $k$-člennou lineárně nezávislou množinu vektorů v $P$. Jejich lineární obal tedy tvoří $k$-rozměrný podprostor prostoru $P$, označme si ho jako $Q$. Platí tedy $Q\subset \subset P$, kde

$Q=\{{\overrightarrow{x}}_1,\dots ,{\overrightarrow{x}}_k{\}}_{\text{lin}}.$

Navíc víme, že jádro lineárního zobrazení též tvoří podprostor, tj. $\ker A\subset \subset P$. Ukážeme nejprve, že součet těchto podprostorů je roven celému prostoru $P$ a že tento součet je navíc direktní. Neboli

$\ker A\oplus Q=P.$

Dokažme nejdříve inkluzi zleva doprava, tzn. že $\ker A+Q\subset P$. To je ale zřejmé z konstrukce. Ukažme tedy opačnou inkluzi. Mějme nějaký libovolně zvolený vektor $\overrightarrow{x}\in P$ a najděme jeho rozklad do podprostorů $\ker A$ a $Q$. Hledáme tedy vektory $\overrightarrow{q}\in Q$ a $\overrightarrow{r}\in \ker A$ takové, že $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}$. Protože $\overrightarrow{r}$ má ležet v jádru $A$, platí $A\overrightarrow{x}=A\overrightarrow{q}\in A(P)$. Existují tedy koeficienty z tělesa ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$ takové, že

$A\overrightarrow{x}=A\overrightarrow{q}=\sum _{i=1}^k{\alpha }_k{\overrightarrow{y}}_i.$

Navíc $A{\overrightarrow{x}}_i={\overrightarrow{y}}_i$, takže

$\sum _{i=1}^k{\alpha }_k{\overrightarrow{y}}_i=\sum _{i=1}^k{\alpha }_{k}A{\overrightarrow{x}}_i=A\left(\sum _{i=1}^k{\alpha }_k{\overrightarrow{x}}_i\right).$

Za vektor $\overrightarrow{q}$ tedy můžeme zvolit

$\overrightarrow{q}\equiv \sum _{i=1}^k{\alpha }_k{\overrightarrow{x}}_i.$

Vektor $\overrightarrow{r}$ pak vznikne jako rozdíl

$\overrightarrow{r}\equiv \overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}.$

Pro libovolný vektor $\overrightarrow{x}\in P$ jsme tak nalezli jeho rozklad do podprostorů $\ker A$ a $Q$.

Nyní ukažme, že se jedná o direktní součet. To je ekvivalentní tomu, že v průniku podprostorů $\ker A$ a $Q$ leží jen nulový vektor, tj. $\ker A\cap Q=\{\overrightarrow{0}\}$. Vezměme tedy nějaký vektor $\overrightarrow{x}$ z průniku $\ker A\cap Q$. Pokud o něm zjistíme, že je nulový, tak jsme hotovi. O libovolném vektoru z průniku jsme totiž ukázali, že je nulový. Protože $\overrightarrow{x}\in \ker A\cap Q$, je určitě $\overrightarrow{x}\in Q$. Existuje tedy $k$-tice koeficientů ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_k$ z tělesa taková, že

$\overrightarrow{x}=\sum _{i=1}^k{\beta }_k{\overrightarrow{x}}_i.$

Protože je $\overrightarrow{x}$ současně z jádra $\ker A$, tak

$A\overrightarrow{x}=\sum _{i=1}^k{\beta }_{k}A{\overrightarrow{x}}_i=\sum _{i=1}^k{\beta }_k{\overrightarrow{y}}_i=0.$

Neboť jsou vektory ${\overrightarrow{y}}_i$ lineárně nezávislé, jsou všechny koeficienty ${\beta }_i$ nulové a platí tedy $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$.

Zatím jsme tedy dokázali rovnost

$\ker A\oplus Q=P.$

Nyní můžeme použít první větu o dimenzi, z níž vyplývá

$\dim \ker A+\dim Q=\dim (\ker A\oplus Q)=\dim P.$

Podprostor $Q$ má ale stejnou dimenzi jako množina $A(P)$. Dostali jsme tedy tvrzení věty.

Příklad

Uvažujme reálný konečněrozměrný vektorový prostor $V$ a k němu prostor duální, nechť $\dim V=n$. Mějme $f$, funkcionál z duálního prostoru, a nechť $\overrightarrow{x}$ je vektor takový, že $f(\overrightarrow{x})=1$. Protože $f$ je funkcionál, je jeho obor hodnot z definice podmnožinou tělesa $ℝ$, což je současně reálný vektorový prostor dimenze jedna, $\dim ℝ=1$. Neboť je $f$ zjevně nenulový, je jeho obor hodnot jednodimenzionální (kdyby byl nulový, zobrazuje každý vektor na nulu a jeho obor hodnot má tedy dimenzi nula). Z druhé věty o dimenzi vyplývá, že dimenze jádra funkcionálu $f$ je

$\dim \ker f=\dim V-\dim \text{ran}f=n-1.$

Jádro zobrazení $f$ tedy tvoří $(n-1)$-rozměrný podprostor prostoru $V$. Z toho tedy vidíme, že jediné vektory, na které $f$ nedá nulu, jsou násobky vektoru $\overrightarrow{x}$, neboli jeho lineární obal $\{\overrightarrow{x}{\}}_{\text{lin}}$.

Literatura

• Šablona:Citace monografie – skripta FJFI ČVUT