Uzávěr (logika)

Uzávěr (operátor konsekvence) na množině S je v logice funkce $\mathrm{Cn}:P(S)\to P(S)$ splňující podmínky

• $X\subseteq \mathrm{Cn}(X)$
• $X\subseteq Y\Rightarrow \mathrm{Cn}(X)\subseteq \mathrm{Cn}(Y)$
• $\mathrm{Cn}(X)=\mathrm{Cn(Cn}(X))$

Používá se v algebraické logice k formalizaci konceptu vyplývání, platí tedy

$\mathrm{Cn}(\mathrm{\Gamma })=\{\phi |\mathrm{\Gamma }⊢\phi \}\text{, resp. }\phi \in \mathrm{Cn}(\mathrm{\Gamma })\equiv \mathrm{\Gamma }⊢\phi$

Někdy je vyžadována ještě kompaktnost, tedy

$\mathrm{Cn}(X)=\bigcup \{\mathrm{Cn}(Y)|Y\in P_{\omega }(X)\}$

Množina všech tautologií je $\mathrm{Cn}(\varnothing )$. T je sporná, pokud $\mathrm{Cn}(T)=S$. Pevné body funkce Cn se nazývají teoriemi. Bezesporná teorie T je úplná, pokud $(\mathrm{\forall }Q\subseteq S)T⊊Q\Rightarrow \mathrm{Cn}(Q)=S$.