Unitární operátor

Unitární operátor je v matematice označení pro omezený lineární operátor $U:\mathscr{H}\to 𝒦$ splňující vztah: $U^{*}=U^{-1}$, tzn. adjungovaný operátor odpovídá inverznímu zobrazení. (Kde $\mathscr{H}$ a $𝒦$ jsou Hilbertovy prostory.)

Vlastnosti

Alternativní definice

Následující tvrzení jsou ekvivalentní. Vlastnosti 2. a 3. se někdy používají jako alternativní definice.

1. $U$ je unitární, ve smyslu definovaném výše, tedy $U^{*}=U^{-1}$
2. $U$ je surjektivní a je izometrií, tzn.: $\Vert Ux\Vert =\Vert x\Vert \mathrm{\forall }x\in \mathscr{H}$
3. $U$ je surjektivní a zachovává skalární součin, tzn.: $⟨x,y⟩=⟨Ux,Uy⟩\mathrm{\forall }x,y\in \mathscr{H}$

Důkaz:

$(1.)\Rightarrow (3.)\Rightarrow (2.)$

$U^{*}=U^{-1}\Rightarrow ⟨x,x⟩=⟨U^{-1}Ux,x⟩=⟨U^{*}Ux,x⟩=⟨Ux,Ux⟩\Rightarrow \Vert x\Vert =\Vert Ux\Vert$

Protože platí $U^{**}=(U^{-1}{)}^{*}=(U^{*}{)}^{-1}$, je $U^{*}$ též unitární. Proto je unitární zobrazení vždy bijektivní a tedy i surjektivní.

$(2.)\Rightarrow (1.)$

Označme $I$ identické zobrazení a připomeňme, že: $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$.

$⟨Ix,x⟩=⟨x,x⟩=⟨Tx,Tx⟩=⟨T^{*}Tx,x⟩\mathrm{\forall }x\in \mathscr{H}\Rightarrow I=T^{*}T$

Z čehož máme: $T{T}^{*}=T{T}^{*}T{T}^{-1}=TI{T}^{-1}=T{T}^{-1}=I\Rightarrow T^{*}=T^{-1}$. ∎

Další vlastnosti

Unitární zobrazování je někdy považováno za zobecnění komplexní jednotky pro Hilbertovy prostory, mimo výše uvedené izometrie má je ještě tyto podobné vlastnosti:

• Složené zobrazení dvou unitárních zobrazení je unitární zobrazení.
• Vlastní čísla unitárního operátoru jsou komplexní jednotky.
• Unitární operátor komutuje se svým sdruženým operátorem, je takzvaně normální. Z toho podle věty o spektrálním rozkladu plyne, že jeho vlastní vektory jsou ortogonální. Lze z nich tedy sestrojit ortonormální bázi $𝒦$.
• Pro Hilbertovy prostory konečné dimenze lze unitární zobrazení reprezentovat maticí $n\times n$, jejíž sloupcové vektory tvoří ortonormální bázi ${ℂ}^n$. Platí i opačná implikace: Matice s touto vlastností reprezentuje unitární zobrazení. Stejná vlastnost platí i pro řádkové vektory.

Příklady

• Identické zobrazení je triviální případ unitárního operátoru.
• Rotace v ${ℝ}^n$.
• V množině komplexních čísel násobení komplexní jednotkou.
• Fourierova transformace v prostoru L²(ℝ).
• $\exp (iH)$, kde $H$ je hermitovský operátor a $\exp$ značí exponenciálu operátoru.

Související články

• Antiunitární operátor
• Wignerova věta