Topologický vektorový prostor

Systém všech okolí počátku (otevřené množiny obsahující nulový prvek) jednoznačně určuje TVS. Systém všech okolí jiného bodu lze získat posunutím .

Topologický vektorový prostor (zkratka TVS, také lineární topologický prostor) je vektorový prostor, v němž je uvažována topologie nad množinou vektorů a topologie nad množinou skalárů vektorového prostoru tak, aby operace sčítání vektorů a operace násobení skalárem byly spojité v součinových topologiích.

Definice

Topologický vektorový prostor $X$ je vektorový prostor nad topologickým tělesem $𝕂$ (nejčastěji reálná nebo komplexní čísla s jejich obvyklou topologií), který je vybaven topologií, v které sčítání vektorů $+:X\times X\to X$ a násobení skalárem $\cdot :𝕂\times X\to X$ jsou spojitá zobrazení vzhledem ke součinovým topologiím nad definičními obory těchto zobrazení.

Topologický vektorový prostor aritmetických vektorů

Jednoduchým příkladem topologického vektorového prostoru je prostor aritmetických vektorů $V={ℝ}^n$, kde za topologii vezmeme topologii indukovanou euklidovskou normou. Jinými slovy, okolími daného vektoru jsou koule o jistém poloměru mající svůj střed v tomto vektoru. Tedy například (otevřená) koule $B_r^n(\overrightarrow{x})$ o (kladném) poloměru $r$ se středem ve vektoru $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ má množinový tvar

$B_r^n(\overrightarrow{x})=\{\overrightarrow{y}\in {ℝ}^n|\Vert \overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{\Vert }_2<r\}=\{\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in {ℝ}^n|\sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-x_i{)}^2}<r\}.$

Topologii pak sestrojíme jako sjednocení všech možných koulí, tj. koulí o všech možných (nenulových) poloměrech se středy ve všech možných vektorech prostoru ${ℝ}^n$. K nim ještě musíme do topologie přihodit všechny možné průniky konečně mnoha libovolných koulí, prázdnou množinu a celou množinu ${ℝ}^n$. Za těleso bereme reálnou osu $ℝ$, jehož topologii sestrojíme analogicky případu výše, kde položíme $n=1$. V takovém případě se nám otevřená koule redukuje na otevřený interval

$B_r^1(x)=\{y\in ℝ||y-x|<r\}=(x-r,x+r).$

Součinová topologie ${\tau }^{″}$ pro kartézský součin $T\times V$ je pak tvořena kartézskými součiny koulí z prostorů $T=ℝ$ a $V={ℝ}^n$, jejich konečnými průniky a libovolnými sjednoceními, kde navíc vezmeme ještě prázdnou množinu a celou množinu $T\times V$. Podobně pro topologii ${\tau }^{\prime }$ na kartézském součinu $V\times V$.

Ukažme nejprve spojitost součtu dvou aritmetických vektorů v námi zavedené topologii. Naším úkolem je ověřit, že pro kterékoliv dva vektory ${\overrightarrow{x}}_0$ a ${\overrightarrow{y}}_0$ a kterýkoli kladný poloměr $r$ leží vektor tvaru $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$ v okolí $U=B_r^n({\overrightarrow{x}}_0+{\overrightarrow{y}}_0)$, kde $\overrightarrow{x}\in B_{\epsilon }^n({\overrightarrow{x}}_0)$ a $\overrightarrow{y}\in B_{\tilde{\epsilon }}^n({\overrightarrow{y}}_0)$ pro jisté poloměry $\epsilon$ a $\tilde{\epsilon }$. Neboli chceme, aby platilo $\Vert (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})-({\overrightarrow{x}}_0+{\overrightarrow{y}}_0){\Vert }_2<r$. Pokud pro každé $r$ najdeme odpovídající $\epsilon$ a $\tilde{\epsilon }$ tak, aby byla splněna tato podmínka, tak můžeme uzavřít, že sčítání vektorů je spojité, neboť pro každé okolí $U$ součtu jsme našli odpovídající okolí $B_{\epsilon }^n({\overrightarrow{x}}_0)\times B_{\tilde{\epsilon }}^n({\overrightarrow{y}}_0)$ v součinové topologii množiny $V\times V$, které vystupuje v definici spojitosti. Za tím účelem však stačí položit $\epsilon =\tilde{\epsilon }=\frac{r}{3}$, abychom měli

$\Vert (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})-({\overrightarrow{x}}_0+{\overrightarrow{y}}_0){\Vert }_2=\Vert (\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0)+(\overrightarrow{y}+{\overrightarrow{y}}_0){\Vert }_2\le \Vert \overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2+\Vert \overrightarrow{y}+{\overrightarrow{y}}_0{\Vert }_2<\epsilon +\tilde{\epsilon }=\frac{r}{3}+\frac{r}{3}=\frac{2r}{3}<r.$

Odhadli jsme tedy patřičnou normu jak jsme měli a ověřili jsme tak spojitost sčítání vektorů.

Podobně nyní ověřme spojitost násobení vektoru číslem. Chceme ukázat, že pro každý násobek ${\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0$ čísla ${\alpha }_0$ a vektoru ${\overrightarrow{x}}_0$ a pro každé jeho okolí $U=B^n({\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0)$ najdeme okolí $B^1({\alpha }_0)$ čísla ${\alpha }_0$ a okolí $B^n({\overrightarrow{x}}_0)$ vektoru ${\overrightarrow{x}}_0$ tak, že ať vynásobím libovolné číslo z okolí $B^1({\alpha }_0)$ s libovolným vektorem z okolí $B^n({\overrightarrow{x}}_0)$, tak dostanu opět vektor, který leží v okolí $U$. Jinými slovy, mějme kouli $U=B_r^n({\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0)$ se středem v ${\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0$ a poloměrem $r$. Chceme najít poloměr $\epsilon$ koule $B_{\epsilon }^1({\alpha }_0)$ se středem v ${\alpha }_0$ a poloměr $\tilde{\epsilon }$ koule $B_{\tilde{\epsilon }}^n({\overrightarrow{x}}_0)$ se středem v ${\overrightarrow{x}}_0$ tak, aby libovolný vektor tvaru $\alpha \overrightarrow{x}$ ležel v množině $U$, kde $\alpha \in B_{\epsilon }^1({\alpha }_0)$ a $\overrightarrow{x}\in B_{\tilde{\epsilon }}^n({\overrightarrow{x}}_0)$. S použitím vlastností normy můžeme odhadnout seshora výraz $\Vert \alpha \overrightarrow{x}-{\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2$ následovně

$\Vert \alpha \overrightarrow{x}-{\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2=\Vert (\alpha -{\alpha }_0)(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0)+{\alpha }_0(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0)+(\alpha -{\alpha }_0){\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2\le |\alpha -{\alpha }_0|\Vert \overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2+|{\alpha }_0|\Vert \overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2+|\alpha -{\alpha }_0|\Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2\le \epsilon \tilde{\epsilon }+|{\alpha }_0|\tilde{\epsilon }+\epsilon \Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2,$

kde jsme ve druhé nerovnosti využili definic příslušných okolí, jak jsou specifikována výše. Diskutujme nyní dva případy. Za prvé, když platí $r\ge 6\Vert {\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2$, kde $r$ je poloměr okolí $U$. V takovém případě stačí položit $\epsilon =|{\alpha }_0|$ a $\tilde{\epsilon }=\Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2$, abychom obdrželi

$\epsilon \tilde{\epsilon }+|{\alpha }_0|\tilde{\epsilon }+\epsilon \Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2=3|{\alpha }_0|\Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2\le 6|{\alpha }_0|\Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2\le r.$

Ukázali jsme tedy, že pokud $r\ge 6\Vert {\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2$, tak jsme našli poloměry okolí $B_{\epsilon }^1({\alpha }_0)$ a $B_{\tilde{\epsilon }}^n({\overrightarrow{x}}_0)$ tak, že vyhovují definici spojitosti násobení vektoru číslem. Podívejme se nyní na případ, kdy $r<6\Vert {\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2$. Tehdy můžeme položit

$\epsilon =\frac{r}{6\Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2},\tilde{\epsilon }=\frac{r}{6|{\alpha }_0|},$

kde $r$ je poloměr okolí $U$. Dostáváme tak

$\epsilon \tilde{\epsilon }+|{\alpha }_0|\tilde{\epsilon }+\epsilon \Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2=\frac{r^2}{36|{\alpha }_0|\Vert {\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2}+\frac{r}{6}+\frac{r}{6}=\frac{r}{6}(\frac{r}{6\Vert {\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2}+2).$

Protože řešíme případ pro $r<6\Vert {\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2$, můžeme první člen v závorce odhadnou seshora jedničkou, abychom dostali výraz

$\frac{r}{6}(\frac{r}{6\Vert {\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2}+2)<\frac{r}{6}(1+2)=\frac{r}{2}<r.$

V případě $r<6\Vert {\alpha }_0{\overrightarrow{x}}_0{\Vert }_2$ jsme tedy též našli poloměry $\epsilon ,\tilde{\epsilon }$ daných okolí tak, že je splněna podmínka spojitosti. Ověřili jsme tak platnost druhé definiční podmínky topologického vektorového prostoru.

Prostor $V={ℝ}^n$ je zajisté Hausdorffův, protože pro každé dva vektory $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ jsme schopni zjistit jejich vzdálenost pomocí Euklidovy normy, označme si ji $d$. Když pak vezmu kouli $B_r(\overrightarrow{x})$ o poloměru $r=\frac{d}{3}$ a kouli $B_r(\overrightarrow{y})$ o témže poloměru, tak tyto dvě koule tvoří okolí vektoru $\overrightarrow{x}$ a vektoru $\overrightarrow{y}$ a jsou přitom disjunktní. Je tedy splněn i třetí požadavek a můžeme uzavřít, že prostor $V={ℝ}^n$ nad tělesem $T=ℝ$ s přirozeně zavedenou topologií je topologickým vektorovým prostorem.

Šablona:Pahýl Šablona:Autoritní data