Steinerova věta

Steinerova věta umožňuje vypočítat moment setrvačnosti tělesa rotujícího kolem osy, která neprochází jeho těžištěm. Je tak například možné vypočítat moment setrvačnosti tělesa složeného z několika základních těles, stačí znát momenty setrvačnosti jednotlivých těles a vzdálenost jejich těžišť od těžiště složeného tělesa. Na její formulaci se podílel i nizozemský fyzik Christiaan Huygens, proto někdy bývá nazývána "Huygens-Steinerovou větou".

Základní znění

"Moment setrvačnosti k mimotěžišťní ose je roven součtu momentu k těžišťní ose a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti obou rovnoběžných os."

Základní vzorec

Za předpokladu, že $J_T$ představuje moment setrvačnosti tělesa k ose procházející těžištěm, $m$ hmotnost tělesa a $r_T$ vzdálenost osy rotace od těžiště, potom lze moment setrvačnosti $J$ k dané ose vypočítat následovně.

$J=J_T+m{r}_T^2$

Tenzorový počet

Pro tenzor setrvačnosti lze Steinerovu větu formulovat následovně (E je jednotková matice, r_T je vektor se složkami (x_T, y_T, z_T) popisující vzdálenost osy rotace od těžiště, symbol $\otimes$ značí tenzorový součin):

$𝐉={𝐉}_T+m(𝐄{𝐫}_T^2-{𝐫}_T\otimes {𝐫}_T)={𝐉}_T+m\left[\begin{array}{ccc}{y}_T^2+z_T^2& -x_T{y}_T& -x_T{z}_T\\ -x_T{y}_T& x_T^2+z_T^2& -y_T{z}_T\\ -x_T{z}_T& -y_T{z}_T& x_T^2+y_T^2\end{array}\right]$.

Důsledek

Ze všech rovnoběžných os otáčení má těleso nejmenší moment setrvačnosti vzhledem k té, která prochází jeho těžištěm.

Související články

• Moment setrvačnosti
• Jakob Steiner
• Steinerův doplněk

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat