Sobolevův prostor

Sobolevův prostor je v matematice normovaný vektorový prostor funkcí s normou, která je kombinací L^p-normy funkce a jejích derivací.

Sobolevovy prostory s celočíselnou derivací

Definice

Sobolevův prostor W^k,p(Ω) je množina všech funkcí u ∈ L^p(Ω) tak, že pro každý multi-index α s |α| ≤ k leží slabá parciální derivace $D^{\alpha }u$ v L^p(Ω), tj.

$W^{k,p}(\mathrm{\Omega })=\{u\in L^p(\mathrm{\Omega }):D^{\alpha }u\in L^p(\mathrm{\Omega })\mathrm{\forall }|\alpha |\le k\},$

kde Ω je otevřena množina v Rⁿ a 1 ≤ p ≤ +∞. Přirozené číslo k se nazývá řád Sobolevova prostoru W^k,p(Ω).

Existuje mnoho možností jak na prostoru W^k,p(Ω) definovat normu, tedy, jak z něj vytvořit Banachův prostor. Následující dvě definice zavádějí dvě různé, ovšem navzájem ekvivalentní normy:

$\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}:=\{\begin{array}{cc}{(\sum _{|\alpha |\le k}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p)}^{1/p},& 1\le p<+\mathrm{\infty };\\ \sum _{|\alpha |\le k}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })},& p=+\mathrm{\infty };\end{array}$

a

$\Vert u\Vert {\text{'}}_{W^{k,p}(\mathrm{\Omega })}:=\{\begin{array}{cc}\sum _{|\alpha |\le k}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })},& 1\le p<+\mathrm{\infty };\\ \sum _{|\alpha |\le k}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })},& p=+\mathrm{\infty }.\end{array}$

Pro p < +∞ je Banachův prostor W^k,p(Ω) s takto zavedenými normami dokonce separabilní.

Na prostoru W^k,2(Ω) vybaveném normou $\Vert \cdot {\Vert }_{W^{k,2}(\mathrm{\Omega })}$lze navíc zavést skalární součin, který tuto normu indukuje, čímž se z něj stane Hilbertův prostor. Tento prostor se pak místo W^k,2(Ω) značí H^k(Ω).

Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací

Besselovy potenciální prostory

Pokud Šablona:Math, Besselův prostor H^s,p(Rⁿ) je dobře definován pro každé reálné číslo s předpisem

$H^{s,p}({ℝ}^n):=\{f\in L^p({ℝ}^n):{ℱ}^{-1}(1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}ℱf\in L^p(ℝ{)}^n\}$

s normou

$\Vert f{\Vert }_{H^{s,p}({ℝ}^n)}:=\Vert {ℱ}^{-1}(1+|\xi {|}^2{)}^{\frac{s}{2}}ℱf{\Vert }_{L^p({ℝ}^n)}$.

Besselovy potenciální prostory jsou Banachovými prostory a v speciálním případě p = 2 dokonce Hilbertovými prostory. Pojem Besselova prostoru je zobecnění pojmu Sobolevova prostoru v tom smyslu, že pro přirozené k platí H^k,p(Rⁿ)=W^k,p(Rⁿ) s ekvivalentními normami. Navíc platí řetěz vnoření

$H^{k+1,p}({ℝ}^n)\hookrightarrow H^{s^{\prime },p}({ℝ}^n)\hookrightarrow H^{s,p}({ℝ}^n)\hookrightarrow H^{k,p}({ℝ}^n),k\le s\le s^{\prime }\le k+1.$

Sobolev-Slobodeckého prostory

Další způsob definovat Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací používá nápad zobecnění Hölderovy spojitostí do Lebesgueových prostorů. Je-li Ω otevřená množina Rⁿ, Šablona:Math, θ ∈ (0,1) a f ∈ L^p(Ω), pak Slobodeckého seminorma je definována předpisem

$[f{]}_{\theta ,p,\mathrm{\Omega }}:=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\theta p+n}}dxdy$.

Je-li Šablona:Math neceločíselné, Sobolev-Slobodeckého prostor W^{s, p}(Ω) je dobře definován předpisem

$W^{s,p}(\mathrm{\Omega }):=\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\mathrm{\Omega }):\underset{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }{\sup }[D^{\alpha }f{]}_{\theta ,p,\mathrm{\Omega }}<\mathrm{\infty }\}$,

kde $\theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)$. Je Banachovým prostorem s normou

$\Vert f{\Vert }_{W^{s,p}(\mathrm{\Omega })}:=\Vert f{\Vert }_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\mathrm{\Omega })}+\underset{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }{\sup }[D^{\alpha }f{]}_{\theta ,p,\mathrm{\Omega }}$.

I v případě Sobolev-Slobodeckého prostorů platí řetěz vnoření

$W^{k+1,p}(\mathrm{\Omega })\hookrightarrow W^{s^{\prime },p}(\mathrm{\Omega })\hookrightarrow W^{s,p}(\mathrm{\Omega })\hookrightarrow W^{k,p}(\mathrm{\Omega }),k\le s\le s^{\prime }\le k+1$.

Literatura

• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation
• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation; translation of Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497.
• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation.
• Šablona:Citation.