Singulární ordinál

Singulární ordinál (resp. singulární kardinál) je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky).

Definice

Limitní ordinál $\gamma$ je singulární, je-li ostře větší než jeho kofinalita (ekvivalentně – není-li regulární). Je-li $\gamma$ zároveň kardinální číslo, nazývá se singulární kardinál.

Příklad

Kardinální číslo ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ je singulární, neboť pro jeho kofinál platí $cf({\mathrm{\aleph }}_{\omega })={\mathrm{\aleph }}_0<{\mathrm{\aleph }}_{\omega }$.
(Stačí si uvědomit, že $\{{\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots \}=\{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }:\alpha <\omega \}$ je kofinální podmnožina množiny ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$.)

Vlastnosti

Moti Gitik roku 1979 ukázal, že tvrzení „Každý nespočetný kardinál je singulární“ je bezesporné s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin.

Související články

• Regulární ordinál
• Kofinál