Rovnostranný trojúhelník

Rovnostranný trojúhelník je trojúhelník, který má všechny tři strany shodné.

Vlastnosti

Kromě vlastností společných pro každý trojúhelník má rovnostranný trojúhelník navíc tyto vlastnosti:

• Rovnostranný trojúhelník je osově souměrný se 3 osami souměrnosti, které procházejí vždy vrcholem a středem protější strany.
• Všechny vnitřní úhly jsou shodné a jejich velikost je 60°.
• Všechny výšky a těžnice jsou shodné.
• Těžnice a výška příslušné téže straně jsou totožné.
• Střed kružnice vepsané, střed kružnice opsané, průsečík těžnic (těžiště) a průsečík výšek (ortocentrum) splývají.
• Výšku lze vypočítat jako $v=a\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}$
• Poloměr kružnice vepsané je roven třetině výšky, tj. $r=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{6}$.
• Poloměr kružnice opsané je dvakrát větší, tj. $R=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}$
• Vzdálenost těžiště od libovolné strany je taktéž $\frac{a\cdot \sqrt{3}}{6}$, vzdálenost těžiště od jakéhokoli vrcholu je $\frac{a\cdot \sqrt{3}}{3}$.

Obvod

Obvod rovnostranného trojúhelníku o se vypočte podle vzorce:

$o=3\cdot a$, kde a je délka strany rovnostranného trojúhelníku.

Obsah

Vzhledem k tomu, že všechny výšky jsou shodné a jejich velikost je $v=a\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}$, potom pro obsah S platí:

$S=\frac{a\cdot v}{2}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\sqrt{\frac{3}{16}\cdot a^4}=\sqrt{0,1875\cdot a^4}$

Související články

• Rovinné geometrické útvary
• Mnohoúhelník
• Trojúhelník
• Rovnoramenný trojúhelník

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat