Riemannova věta

Je-li reálná řada $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ neabsolutně konvergentní, pak ke každému $S\in ℝ$ existuje přerovnání $\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ takové, že $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\varphi (n)}=S$. Rovněž existuje oscilující přerovnání $\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ této řady.

Důkaz

• Nejprve si uvědomme, že platí $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i^{+}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i^{-}=\mathrm{\infty }$, kde $a_i^{+}$ značí kladnou část čísla $a_i$, tedy $a_i^{+}=\max (a_i,0)$, $a_i^{-}$ značí zápornou část tohoto čísla: $a_i^{-}=\max (-a_i,0)$. Je tedy $a_i=a_i^{+}-a_i^{-}$ a $|a_i|=a_i^{+}+a_i^{-}$. To znamená, že původní řada musí obsahovat nekonečně mnoho kladných a nekonečně mnoho záporných členů, tedy je mohu stále vybírat a nikdy nedojdou.
• Je-li $S<0$, pak přeskočím následující krok.
• Najdu takové přirozené číslo $n$, pro které platí $\sum _{i=1}^n{a}_i^{+}>S$. Tento součet označím $T_1$. Všimnu si, že jsem vlastně pouze sečetl všechny kladné členy této řady až do indexu $n$.
• Nyní najdu další přirozené číslo $m$ takové, aby $\sum _{i=1}^m{a}_i^{-}+T_1<S$. Tento součet označím $T_2$ a pokračuji předchozím krokem. Protože je původní řada konvergentní, budou se součty $T_1$ a $T_2$ postupně blížit k požadovanému $S$.

Související články

• Řada

Literatura

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. Šablona:ISBN
• Derbyshire John : Posedlost prvočísly. Galileo, Praha, 2007, 1. vydání. Šablona:ISBN
• Křížek Michal, Sommer Lawrence, Šolcová Alena : Kouzlo čísel. Galileo, Praha, 2011, 2. vydání. Šablona:ISBN