Reissnerova–Nordströmova metrika

Šablona:Soubox Reissnerova–Norströmova metrika je ve fyzice a astronomii statické řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole, odpovídající gravitačnímu poli nabitého, nerotujícího, sféricky symetrického tělesa o hmotnosti M.

Metrika byla objevena německým fyzikem Hansem Reissnerem a finským fyzikem Gunnarem Nordströmem.

Čtveřici podobných řešení lze shrnout do následující tabulky:

	Nerotující (J = 0)	Rotující (J ≠ 0)
Nenabitá (Q = 0)	Schwarzschildova metrika	Kerrova metrika
Nabitá (Q ≠ 0)	Reissnerova–Nordströmova metrika	Kerrova–Newmanova metrika

kde Q reprezentuje elektrický náboj a J reprezentuje moment hybnosti.

Metrika

Ve sférických souřadnicích (t, r, θ, φ), je lineární element Reissnerovy–Nordströmovy metriky

$d{s}^2=(1-\frac{r_{\mathrm{S}}}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2})c^{2}d{t}^2-{(1-\frac{r_{\mathrm{S}}}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2})}^{-1}d{r}^2-r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_{(2)}^2,$

kde c je rychlost světla, t je časová souřadnice (měřeno podle stacionárních hodin v nekonečnu), r je radiální souřadnice, $d{\mathrm{\Omega }}_{(2)}^2$ je dvousféra definovaná podle

$d{\mathrm{\Omega }}_{(2)}^2=d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$

r_S je Schwarzschildův poloměr tělesa daný

$r_s=\frac{2GM}{c^2},$

a r_Q je charakteristická délková škála daná

$r_Q^2=\frac{Q^{2}G}{4\pi {\epsilon }_0{c}^4}.$

Zde 1/4πε₀ je Coulombův zákon. V limitě kde náboj Q (nebo v ekvivalentním případě, délková škála r_Q) klesne na nulu, používáme Schwarzschildovu metriku. Klasická Newtonova teorie gravitace může být získána v limitním případě, když poměrr_S/r jde k nule. V limitě, kde oba poměry r_Q/r a r_S/r jdou k nule, dostáváme Minkowského metriku pro speciální teorii relativity.

V praxi je poměr r_S/r často extrémně malý. Například Schwarzschildův poloměr Země je zhruba 9 milimetrů, zatímco geostacionární dráha na níž obíhají některé družice má poloměr r který je zhruba 4 miliardkrát větší, tedy 42 164 kilometrů. I na povrchu Země činí v tomto případě oprava Newtonovy gravitace jen jeden díl z miliardy. Poměr se stává velkým jen v blízkosti masivních a ultra hustých objektů jako jsou černé díry a neutronové hvězdy.

Nabité černé díry

Ačkoli se nabité černé díry s r_Q ≪ r_S podobají Schwarzschildovým černým dírám, mají dva horizonty: vnější horizont událostí a vnitřní Cauchyho horizont. Stejně jako v případě Schwarzschildovy metriky, horizont událostí pro prostoročas je umístěn tam, kde metrický komponent g^rr diverguje; což je když

$0=1/g^{rr}=1-\frac{r_{\mathrm{S}}}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2}.$

Tato rovnice má dvě řešení:

$r_{\pm }=\frac{1}{2}(r_s\pm \sqrt{r_s^2-4r_Q^2}).$

Tyto soustředné horizonty událostí se stávají degenerovanými pro 2r_Q = r_S, což odpovídá extrémní černé díře. Předpokládá se, že černé díry s 2r_Q > r_S v přírodě neexistují, protože by obsahovaly takzvané nahé singularity. Jejich existence by byla v rozporu s hypotézou kosmické cenzury formulovanou Rogerem Penrosem o níž se, i přes absenci přímých důkazů, předpokládá, že je pravdivá. Teorie se supersymetrií obvykle garantují, že tyto superextrémní černé díry nemohou existovat.

Elektromagnetický potenciál je

$A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).$

Pokud jsou v teorii zahrnuty magnetické monopóly, potom zobecnění zahrnující magnetický náboj P se získá nahrazením Q² podle Q² + P² v metrice a včetně podmínky Pcos θ dφ v elektromagnetickém potenciálu.

Reference

• Šablona:Cite journal
• Šablona:Cite journal