Redukovaný okruh

Redukovaný okruh je takový okruh, který nemá žádné nilpotentní prvky kromě absorpčního prvku. Tento typ okruhů hraje roli zejména v komutativní algebře a v algebraické geometrii.

Formální definice

Je možných několik jednoduchých ekvivalentních definic:

• Okruh $R$ je redukovaný, právě když $\mathrm{\forall }r\in R:r^n=0\iff r=0$
• Okruh $R$ je redukovaný, právě když je jeho nilradikál roven nulovému ideálu, neboli $\sqrt{(0)}=(0)$
• Okruh $R$ je redukovaný, právě když $\mathrm{\forall }r\in R:r^2=0\iff r=0$

Příklady

• Celá čísla jsou redukovaný okruh.
• Polynomické okruhy nad tělesy jsou redukované okruhy.
• Obory integrity jsou redukované okruhy.
• Faktorokruh $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ není redukovaný, neboť třída $2+4\mathbb{Z}$ je nenulovým nilpotentním prvkem.