Posunutí (geometrie)

Geometrické posunutí.

V geometrii představuje posunutí (translace) geometrické zobrazení v afinním prostoru, které je charakterizováno tím, že každý bod se zobrazí na bod posunutý o stejný vektor, tzv. vektor posunutí, který posunutí jednoznačně určuje.

Posunutí v euklidovském prostoru se řadí mezi shodná zobrazení. Posunutí lze aplikovat na celý prostor nebo na vybrané geometrické útvary. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při posunutí nemění.

Maticová reprezentace

Některé transformace lze reprezentovat jako násobení vektoru souřadnic zleva určitou maticí. Při násobení maticí je vždy počátek souřadnic pevným bodem; posunutí je však afinní transformace, která nemá žádný pevný bod. Existuje ale trik, jak posunutí reprezentovat násobením vektoru souřadnic maticí zleva, a tím je použití homogenních souřadnic: trojrozměrný vektor $𝐯=(v_x,v_y,v_z)$ zapíšeme pomocí 4 homogenních souřadnic jako $𝐯=(v_x,v_y,v_z,1)$.

Pro posunutí objektu o daný vektor $𝐯$ lze každý homogenní vektor $𝐩$ (zapsaný v homogenních souřadnicích) znásobit následující translační maticí:

$T_{𝐯}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& v_x\\ 0& 1& 0& v_y\\ 0& 0& 1& v_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Násobení touto maticí dá skutečně očekávaný výsledek:

$T_{𝐯}𝐩=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& v_x\\ 0& 1& 0& v_y\\ 0& 0& 1& v_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{p}_x+v_x\\ p_y+v_y\\ p_z+v_z\\ 1\end{array}\right]=𝐩+𝐯$

Inverzní zobrazení a tedy i inverzní translační matici lze získat prostým obrácením vektoru:

$T_{𝐯}^{-1}=T_{-𝐯}.$

Součin translačních matic lze vyjádřit pomocí sčítání vektorů:

$T_{𝐯}{T}_{𝐰}=T_{𝐯+𝐰}.$

Protože sčítání vektorů je komutativní, násobení translačních matic je také komutativní (na rozdíl od násobení obecných matic).

Odkazy

Související články

• Geometrické zobrazení
• Shodné zobrazení
• Posunutí souřadnic

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat