Paprsková rovnice

Šablona:Upravit Paprskovou rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu. Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu. Její tvar je

$\mathrm{\nabla }n=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}(n\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}\mathrm{s}})$,

kde $s$ je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

$n\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}𝐫}{\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}}=\mathrm{\nabla }n-(\mathrm{\nabla }n\cdot \frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}\mathrm{s}})\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}\mathrm{s}}$

Z diferenciální geometrie je přitom známo, že $\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}𝐫}{\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}}$ je vždy kolmá na $\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}\mathrm{s}}$ (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

$\frac{1}{R}=\left|\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}𝐫}{\mathrm{d}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}}\right|$.

Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

Máme-li tedy zadán směr paprsku $\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}\mathrm{s}}$ v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

Příklady

Speciálně je-li $\mathrm{\nabla }n=0$, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x, y platí

$n(y)\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{s}}=konst.$

Což lze přepsat pomocí úhlu $\alpha$, který paprsek svírá s osou y do tvaru

$n(y)\sin \alpha =konst.$

Z čehož speciálně plyne Snellův zákon lomu:

$n_1\sin {\alpha }_1=n_2\sin {\alpha }_2$