Oortovy konstanty

Oortovy konstanty se označují písmeny $A$ a $B$. Vycházejí z Lindbladova-Oortova modelu, který předpokládá, že pohyb hvězd ve slunečním okolí lze vysvětlit jako rotaci okolo vzdáleného středu (galaktického centra). Jedná se tedy o pohyb uspořádaným způsobem kolmo na průvodič. Pro sluneční okolí jsou hodnoty

$A\approx 13\mathrm{k}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{k}\mathrm{p}{\mathrm{c}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

$B\approx -13\mathrm{k}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{k}\mathrm{p}{\mathrm{c}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

Odvození

V odvození se předpokládá, že okolní hvězdy jsou výrazně blíže ke Slunci než ke galaktickému středu. Lze se proto omezit pouze na lineární závislosti. Tento předpoklad je pro hvězdy do vzdálenosti 1 kpc dobře splněn. Dále se předpokládá, že je galaktický disk tenký a že je galaktická šířka pro okolní hvězdy blízká nule, tj. $b\approx 0$.

Indexem ${}_0$ se označují proměnné vztažené ke Slunci. Definujme tedy vzdálenost Slunce od galaktického centra $R_0$ , okamžitou rychlost obíhání Slunce ${\theta }_0$ a úhlovou rychlost Slunce (z definice pro úhlovou rychlost tuhého tělesa)

${\omega }_0=\frac{{\theta }_0}{R_0}$ .

Schéma slunečního okolí

Uvažujme hvězdu ve vzdálenosti $d$ od Slunce a $R$ od galaktického středu s galaktickou délkou $l$ , která obíhá rychlostí $\theta$ a úhlovou rychlostí $\omega$. Označme úhel, který svírá vektor rychlosti hvězdy se zorným paprskem $\alpha$ (viz obrázek).

První Oortova konstanta

Je zřejmé, že radiální rychlost hvězdy (tj. rychlost ve směru zorného paprsku) bude

$v_{R\star }=\theta \cos \alpha$ .

Víme-li navíc, že pohyb Slunce ve směru zorného paprsku je

$v_{R0}={\theta }_0\sin l$ ,

můžeme zapsat relativní radiální rychlost hvězdy vůči Slunci jako

$v_R=\theta \cos \alpha -{\theta }_0\sin l$ .

Ze sinové věty pro trojúhelník s vrcholy Slunce, hvězdy a galaktický střed plyne

$\frac{\sin (90^{\circ }+\alpha )}{R_0}=\frac{\sin l}{R}$

$\frac{\cos \alpha }{R_0}=\frac{\sin l}{R}$

a tedy

$v_R=(\frac{\theta }{R}-\frac{{\theta }_0}{R_0})R_0\sin l=(\omega -{\omega }_0)R_0\sin l$ .

Protože je $\omega (R)$ , použijeme na závorku v předchozím vztahu Taylorův rozvoj do lineárního členu.

$(\omega -{\omega }_0)={\left(\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}R}\right)}_0(R-R_0)$

Spočítáme derivaci

${\left(\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}R}\right)}_0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R}{\left(\frac{\theta }{R}\right)}_0=\frac{1}{R_0}{\left(\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}\right)}_0-{\left(\frac{\theta }{R^2}\right)}_0$

a za již zmíněného předpokladu, že jsme v blízkosti Slunce, je

$R-R_0\approx -d\cos l$ .

Po dosazení dostaneme

$v_R=-[{\left(\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}\right)}_0-{\left(\frac{\theta }{R}\right)}_0]d\sin l\cos l=\frac{1}{2}{[\frac{\theta }{R}-\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}]}_{0}d\sin (2l)$ .

První Oortovu konstantu definujeme předpisem

$A=\frac{1}{2}{[\frac{\theta }{R}-\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}]}_0$ ,

pak lze relativní radiální rychlost zapsat také jako

$v_R=Ad\sin (2l)$ .

Druhá Oortova konstanta

Druhá Oortova konstanta souvisí s pohybem kolmo na směr zorného paprsku, neboli s tečnou složkou rychlosti. Pro hvězdu je tečná rychlost

$v_{T\star }=\theta \sin \alpha$

a pro Slunce je

$v_{T0}={\theta }_0\cos l$ ,

je tedy zřejmé, že tečná rychlost hvězdy vzhledem ke Slunci je

$v_T=\theta \sin \alpha -{\theta }_0\cos l$ .

Z geometrie (viz obrázek) plyne

$R\sin \alpha +d=R_0\cos l$ .

Po dosazení dostaneme

$v_T=(\omega -{\omega }_0)R_0\cos l-\omega d$

a díky tomu, že jsme v blízkosti Slunce, můžeme také psát

$\omega d={\omega }_{0}d+(\omega -{\omega }_0)d\approx {\omega }_{0}d$ .

Stejným postupem jako při odvozování Oortovy konstanty $A$ vyjde

$v_T=-{[\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}-\frac{\theta }{R}]}_{0}d{\cos }^{2}l-{\omega }_{0}d=\frac{1}{2}{[\frac{\theta }{R}-\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}]}_{0}d\cos (2l)-\frac{1}{2}{[\frac{\theta }{R}+\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}]}_{0}d$ .

Po zavedení druhé Oortovy konstanty předpisem

$B=-\frac{1}{2}{[\frac{\theta }{R}+\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}]}_0$

můžeme tečnou relativní rychlost zapsat jako

$v_T=Ad\cos (2l)+Bd$ .

Použití

Z Oortových konstant lze spočítat např. gradient rychlosti nebo úhlovou rychlost. Pro gradient rychlosti obě konstanty sečteme

$A+B=-{\left(\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}R}\right)}_0\approx 0$ .

Nulový gradient je zde díky tomu, že v okolí Slunce jsou Oortovy konstanty $A\approx -B$ , z toho vyplývá, že je rotační křivka ve slunečním okolí plochá.

Odečtením konstant dostaneme úhlovou rychlost

$A-B={\left(\frac{\theta }{R}\right)}_0={\omega }_0\approx 26\mathrm{k}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{k}\mathrm{p}{\mathrm{c}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$ ,

hodnota je opět pro Slunce. Z ní lze odhadnout periodu obíhání Slunce okolo středu Galaxie $T_0=250\mathrm{M}\mathrm{y}\mathrm{r}$. Šablona:Autoritní data

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat