Normála

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu.

Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů – tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.

Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

Normála plochy

Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.

Je-li rovina dána rovnicí $ax+by+cz+d=0$, potom je její normálový vektor n roven $(a,b,c)$.

Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

$x=x(r,s),$

$y=y(r,s),$

$z=z(r,s),$

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

$𝐧=\frac{\partial 𝐫}{\partial r}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial s}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r},& \frac{\partial y}{\partial r},& \frac{\partial z}{\partial r}\\ \frac{\partial x}{\partial s},& \frac{\partial y}{\partial s},& \frac{\partial z}{\partial s}\\ {𝐞}_1,& {𝐞}_2,& {𝐞}_3\end{array}\right|,$

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

$𝐧=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial p_1},& \dots ,& \frac{\partial x_n}{\partial p_1}\\ \dots ,& \dots ,& \dots \\ \frac{\partial x_1}{\partial p_{n-1}},& \dots ,& \frac{\partial x_n}{\partial p_{n-1}}\\ {𝐞}_1,& \dots ,& {𝐞}_n\end{array}\right|,$

kde $p_1,\dots ,p_{n-1}$ jsou parametry plochy.

Je-li plocha dána jako množina bodů $(x,y,z)$ splňujících rovnici :$F(x,y,z)=0$, potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

$𝐧=\mathrm{\nabla }F(x,y,z)$.

Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky $𝐫=𝐫(s)$, kde $s$ je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor $𝐭$ v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.

Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem $\frac{\mathrm{d}𝐭}{\mathrm{d}s}$.

Jednotkový vektor $𝐧$, který má stejný směr jako vektor $\frac{\mathrm{d}𝐭}{\mathrm{d}s}$, se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí $\frac{{\mathrm{d}}^2𝐭}{\mathrm{d}{s}^2}\ne 0$.

Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

$𝐧=\frac{1}{k_1}\frac{\mathrm{d}𝐭}{\mathrm{d}s}=\frac{1}{k_1}\frac{{\mathrm{d}}^2𝐫}{\mathrm{d}{s}^2}$,

kde $k_1$ je tzv. první křivost.

Vektory $𝐭$ a $𝐧$ jsou vzájemně kolmé, tzn. $𝐭\cdot 𝐧=0$.

Pokud parametrem křivky není její oblouk $s$, ale obecný parametr $t$, tzn. křivka je dána rovnicí $𝐫=𝐫(t)$, pak je jednotkový normálový vektor $𝐧$ dán vztahem

$𝐧=\frac{\frac{{\mathrm{d}}^2𝐫}{\mathrm{d}{t}^2}c+\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}}{\sqrt{(\frac{{\mathrm{d}}^2𝐫}{\mathrm{d}{t}^2}c+\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t})\cdot (\frac{{\mathrm{d}}^2𝐫}{\mathrm{d}{t}^2}c+\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t})}}$,

kde $c=\frac{1}{\sqrt{\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}$ pokud platí $\frac{{\mathrm{d}}^2𝐫}{\mathrm{d}{t}^2}\ne 0$ a $\frac{{\mathrm{d}}^2𝐫}{\mathrm{d}{t}^2}c+\frac{\mathrm{d}𝐫}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}t}\ne 0$.

Související články

• Průvodní trojhran
• Frenetovy vzorce
• Binormála
• Tečna

Šablona:Pahýl Šablona:Autoritní data