Morerova věta

Morerova věta (Giacinto Morera) je matematické tvrzení z oblasti komplexní analýzy. Dává nutnou a postačující podmínku pro holomorfnost spojité funkce na souvislé otevřené množině.

Přesné znění

Nechť G je otevřená souvislá množina a f funkce spojitá na G. Pak f je holomorfní na G, právě když pro každý trojúhelník $\mathrm{\Delta }\subseteq G$ je ${\oint }_{\partial \mathrm{\Delta }}f=0$, kde $\partial \mathrm{\Delta }$ je hranice trojúhelníku $\mathrm{\Delta }$.

Důkaz

Implikace zleva doprava plyne například z Cauchyovy věty nebo z Goursatova lemmatu.

Pro implikaci zprava doleva dokazujme holomorfnost v daném bodě $z_0\in G$. Volme okolo $z_0$ kruh $K\subseteq G$. Definujme na K funkci F vztahem

$F(z)={\oint }_{\overline{z_0,z}}f$, kde $\overline{z_0,z}(t)=z_0+(z-z_0)\cdot t;t\in <0,1>$ je parametrizace úsečky $\overline{z_0,z}.$

F díky předpokladu ${\oint }_{\partial \mathrm{\Delta }}f=0$ splňuje $F^{\prime }=f$ na K, tedy F je na K holomorfní a díky Cauchyovu vzorci na kruhu je i f holomorfní na K, tedy speciálně v $z_0$.

Důsledky

Z Morerovy věty snadno plyne takzvaná Weierstrassova věta, která říká, že lokálně stejnoměrná limita holomorfních funkcí je holomorfní. Z této věty pak vyplývá holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako součet řady holomorfních funkcí. Příkladem může být Riemannova zeta funkce

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$

V kombinaci s Fubiniovou větou může Morerova věta prokázat holomorfnost funkcí, které lze vyjádřit jako integrál holomorfních funkcí - například Gamma funkce

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx.$

Související články

• Giacinto Morera
• Cauchyova věta
• Cauchyův vzorec

Reference

• Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld