Monadický operátor

Monadický operátor je typový operátor vyššího druhu přiřazující libovolné monádě jinou monádu. Jedná se o endofunktor v kategorii endofunktorů.

Monadický operátor T je druhu $(\ast \to \ast )\to \ast \to \ast$ poskytující pro každou monádu operace $\eta$ a $>>=$ nad TMa a navíc speciální funkci $\lambda :Ma\to TMa$ (někdy nazývanou "lift") takovou, že platí ${\eta }_{TM}=\lambda {\eta }_M$ a ${\lambda }_B(m>>=f)=({\lambda }_{A}m)>>=({\lambda }_B\circ f)$. Ve funkcionálních jazycích, protože složení dvou monád obecně není monáda, se používají monadické operátory, chceme-li spojit funkčnost dvou monád do jedné. Jazyky jako Haskell nabízejí ke každé monádě také odpovídající operátor.

Lze snadno ukázat, že λ je přirozená transformace z M do TM. Pro libovolnou monádu F platí $Ff=\lambda m.m⋗\eta f$. Chceme dokázat, že pro libovolný morfismus $f:A\to B$ platí ${\lambda }_B\circ Mf=TMf\circ {\lambda }_A$.

V prvním případě máme

${\lambda }_B\circ Mf={\lambda }_B\circ \lambda m.m⋗{\eta }_{B}f=\lambda m.{\lambda }_{A}m⋗{\lambda }_B{\eta }_{B}f$

Ve druhém pak přímo

$TMf\circ {\lambda }_A=\lambda m.{\lambda }_{A}m⋗{\lambda }_B{\eta }_{B}f$

Uvedený diagram tedy komutuje, pročež je λ přirozenou transformací. Šablona:Autoritní data