Materiálová derivace

Šablona:Upravit Uvažujme určitou fyzikální veličinu Φ spjatou s hmotnou částicí kontinua, která je obecně proměnná v čase. Podle uvažovaného popisu (lagrangeovského i eulerovského), lze definovat následující derivace:

Lokální derivace

$\frac{\delta \mathrm{\Phi }}{\delta t}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }(y,t)}{\partial t}$,

kde y značí prostorovou souřadnici. Tato derivace charakterizuje změnu veličiny Φ v pevném bodě prostoru.

Materiálová derivace

$\frac{D\mathrm{\Phi }}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }(x,t)}{\delta t}$

tato derivace značí změnu Φ dané hmotné částice. V této rovnosti x značí materiálovou souřadnici a je pevné (x=(x¹,x²,x³)).

Mezi oběma derivacemi existuje vztah, který získáme užitím transformačního vztahu popisujícího pohyb kontinua a vyjadřujícího časovou závislost mezi oběma souřadnicovými systémy:: yⁱ=yⁱ(x¹,x²,x³,t) (uvažujme pouze kartézský souřadnicový systém). Platí

$\frac{D\mathrm{\Phi }}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }(y,t)}{\partial t}+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y^i}\frac{\partial y^i}{\partial t}=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial y^i}{v}^i$,

kde jsme derivaci: $\partial y^i/\partial t$ označili, jak je to běžné, jako rychlost dané částice kontinua.