Lippmannova–Schwingerova rovnice

Lippmannova-Schwingerova rovnice je kvantově mechanická rovnice hojně užívaná v teorii rozptylu. Jedná se o integrální rovnici, která je často řešena iterační metodou což vede na Bornovu řadu.

V případě jednokanálového rozptylu má nezávisle na reprezentaci Lippmann-Swingerova rovnice tvar

$|{\psi }_{\mathrm{p}}^{\pm }⟩=|\mathrm{p}\mathrm{⟩}\mathrm{+}{\hat{G}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\pm }}\mathrm{(}\mathrm{E}\mathrm{)}{\hat{\mathrm{H}}}_{\mathrm{I}}\mathrm{|}{\psi }_{\mathrm{p}}^{\mathrm{\pm }}\mathrm{⟩}$,

kde $|{\psi }_{\mathrm{p}}^{\pm }⟩$ označuje retardované a advancované řešení rovnice, ${\hat{H}}_I$ interační hamiltonián a ${\hat{G}}_0^{\pm }(E)$ retardovaný, resp. avansovaný, Greenův operátor bezčasové Schrödingerovy rovnice pro volnou částici. Můžeme jej vyjádřit takto

${\hat{G}}_0^{\pm }(E)=\frac{1}{E-{\hat{H}}_0\pm i\epsilon }$.

Řešení Lippmann-Swingerovy rovnice vyhovují nečasové (stacionární) Schrödingerově rovnici, tedy platí:

$\hat{H}|{\psi }_{\mathrm{p}}^{\pm }⟩=E|{\psi }^{\pm }⟩$

Platí dokonce normovací podmínka

$⟨{\psi }_{\mathrm{p}}^{\pm }|{\psi }_{{\mathrm{p}}^{\prime }}^{\pm }⟩=\delta (\mathrm{p}\mathrm{-}{\mathrm{p}}^{\prime }\mathrm{)}$.

Přitom pro celkový hamiltonián $H$ platí

$\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}_I$,

kde $H_0$ je hamiltonián volné částice, tedy nerelativisticky

${\hat{H}}_0=\frac{{\hat{\mathrm{p}}}^2}{2m}$.

Platí také $E=\frac{p^2}{2m}$, protože se energie částice zachovává a dlouho před rozptylem odpovídá energii volné částice.

Poznamenejme, že retardované řešení popisuje rozptylující se částici, která na rozptylové centrum nalétává jako rovinná vlna $|\mathrm{p}\mathrm{⟩}$ a advancované naopak řešení s převráceným během času, jako rovinná vlna vylétá.

V třírozměrném prostoru je Greenův operátor ${\hat{G}}_0^{\pm }(E)$ v x-reprezentaci dán výrazem

$G_0^{\pm }(E)(\mathrm{x},{\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{x}\mathrm{|}{\hat{G}}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\pm }}\mathrm{(}\mathrm{E}\mathrm{)}\mathrm{|}{\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{⟩}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{4\pi }\frac{\exp (\pm ik|\mathrm{x}\mathrm{-}{\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{|}\mathrm{)}}{|\mathrm{x}\mathrm{-}{\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{|}}$

Lippmann-Schwingerova rovnice má pak v x-reprezentaci tvar

${\psi }_{\mathrm{p}}^{+}(\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\frac{1}{(2\pi \hslash {)}^{\frac{3}{2}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{p}\mathrm{\cdot }\mathrm{x}}\mathrm{-}\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{4\pi }\mathrm{\int }{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}^{\prime }\frac{\exp (ik|\mathrm{x}\mathrm{-}{\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{|}\mathrm{)}}{|\mathrm{x}\mathrm{-}{\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{|}}\mathrm{V}\mathrm{(}{\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{)}{\psi }_{\mathrm{p}}^{\mathrm{+}}\mathrm{(}{\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{)}$,

kde

${\psi }_{\mathrm{p}}^{+}(\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{=}\mathrm{⟨}\mathrm{x}\mathrm{|}{\psi }_{\mathrm{p}}^{\mathrm{+}}\mathrm{⟩}$

a

$\mathrm{k}\mathrm{=}\frac{1}{\hslash }\mathrm{p}$.

Z vyjádření v x-reprezentaci je zřejmé, že jde v tomto případě o integrální rovnici.

Metody řešení

Z matematického pohledu je Lippmannova-Schwingerova v souřadnicové reprezentaci integrální rovnicí Fredholmova typu. Lze ji řešit pomocí diskretizace integrálu, což ji převede na soustavu lineárních rovnic. Další možností je využít ekvivalence Lippman-Schwingerovy rovnice se Schrödingerovou rovnicí a řešit místo integrální tuto diferenciální rovnici se správnou okrajovou podnínkou. V případě sféricky symetrického potenciálu $V$ se rovnice většinou řeší metodou parciálních vln. Pro vysoké srážkové energie nebo slabé potenciály lze rovnici řešit poruchovým rozvojem (Bornova řada). Zobecnění Lippman Schwingerovy rovnice pro mnohočásticové srážky, například v jaderné či molekulové fyzice se obvykle řeší pomocí metody R-matice navržené Wignerem a Eisenbudem. Další třída metod vychází ze separabilního rozkladu potenciálu nebo Greenova operátoru jako je metoda řetězových zlomků Horáčka a Sasakawy. Důležitá třída metod je založena na variačních principech, například ze Schwingerova variačního principu vychází Schwinger-Lanczosova metoda, která kombinuje variační princip Juliana Schwingera a Lanczosův algoritmus. Šablona:Autoritní data