Lineární funkcionál

Lineární funkcionál nebo lineární forma je v matematice lineární zobrazení z množiny vektorů daného vektorového prostoru do množiny jeho skalárů. Jedná se tedy o funkcionál, který je zároveň lineární.

Definice

Nechť $V$ je vektorový prostor nad tělesem $T$. Zobrazení $f:V\to T$ sa nazývá lineární funkcionál, pokud jde o zobrazení do tělesa, které je zároveň lineární, tj.:

1. $\mathrm{\forall }x\in V:f(x)\in T,$
2. $\mathrm{\forall }x,y\in V:f(x+y)=f(x)+f(y),$
3. $\mathrm{\forall }x\in V\mathrm{\forall }\alpha \in T:f(\alpha \cdot x)=\alpha f(x).$

Podmínky 2., 3. můžeme ekvivalentně přepsat do podmínky

$\mathrm{\forall }x,y\in V\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in T:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

Uvedenou definici můžeme přeformulovat tak, že $f$ je lineární zobrazení z $V$ do $T$.

1. $\mathrm{\forall }x\in V:f(x)\in T,$
2. $\mathrm{\forall }x,y\in V\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in T:f(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)=\alpha f(x)+\beta f(y).$

Příklad

Lineární funkcionály v Rⁿ

Uvažujme o euklidovském prostoru ${ℝ}^n$. Předpokládejme, že vektory prostoru ${ℝ}^n$ jsou reprezentované jako sloupcové vektory typu

$x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T.$

Potom každý lineární funkcionál možno zapsat ve tvaru

$f(x)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n.$

Předchádzející výraz je možno ekvivalentně zapsat jako maticový součin

$f(x)=(a_1,a_2,\dots ,a_n)\cdot (x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T.$

Lineární funkcionály na ${ℝ}^n$ mohou být tudíž reprezentovány jako $n$-rozměrné řádkové vektory $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$.

Externí odkazy

• Definice lineárního funkcionálu na Wolfram MathWorld
• stránky Lubomíry Dvořákové týkající se lineární algebry