Laplaceova metoda

Laplaceova metoda je technika pro asymptotické aproximace Laplaceových integrálů, tedy přibližný výpočet integrálů ve tvaru

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t.$

Meze $a$ a $b$ mohou nabývat hodnot $\pm \mathrm{\infty }$.

Čím větší je $n,$ tím je aproximace přesnější. Speciálním případem těchto integrálů je Laplaceova transformace. Metoda je pojmenována podle francouzského matematika Pierra-Simona Laplaceho, který ji publikoval v roce 1774.

Zobecněním metody na komplexní čísla je metoda největšího spádu.

Tvrzení

Nechť $g\in C^2(⟨a,b⟩)$ a existuje ostré minimum $t_0\in (a,b)$ (tedy $g^{\prime }(t_0)=0$ a $g^{″}(t_0)>0$). Dále platí $f(t_0)\ne 0$. Pak platí

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t}{e^{-ng(t_0)}f(t_0)\sqrt{\frac{2\pi }{n{g}^{″}(t_0)}}}=1$

nebo v terminologii asymptotické analýzy

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t\sim e^{-ng(t_0)}f(t_0)\sqrt{\frac{2\pi }{n{g}^{″}(t_0)}}\text{pro }n\to \mathrm{\infty }$.

Odvození

Základní myšlenka je následující:

Největší příspěvek k hodnotě integrálu pochází z bodů v okolí $U_{\epsilon }(t_0)$.

Za předpokladu, že $n$ je velmi velké, můžeme integrál vyjádřit takto:

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t& =e^{-ng(t_0)}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-n[g(t)-g(t_0)]}\mathrm{d}t\\ & \approx e^{-ng(t_0)}f(t_0)\underset{t_0-\epsilon }{\overset{t_0+\epsilon }{\int }}{e}^{-n[g(t)-g(t_0)]}\mathrm{d}t\end{array}$

Funkci $g$ v bodě $t_0$ vyjádříme pomocí Taylorova rozvoje:

$g(t)=g(t_0)+g^{\prime }(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2+𝒪((t-t_0{)}^3)$

Tedy můžeme aproximovat

$\begin{array}{cc}g(t)-g(t_0)& \approx g^{\prime }(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2\\ & =\frac{1}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2\end{array}$

Odtud plyne

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm{d}t\approx e^{-ng(t_0)}f(t_0)\underset{t_0-\epsilon }{\overset{t_0+\epsilon }{\int }}{e}^{-\frac{n}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2}\mathrm{d}t$

Pokud by v integrálu na pravé straně byly integrační meze $⟨-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }⟩$ šlo by o Gaussův integrál; díky tomu, že hodnota exponenciální funkce při odchýlení od $t_0$ klesá velmi rychle, můžeme použít jeho hodnotu:

$\begin{array}{cc}{e}^{-ng(t_0)}f(t_0)\underset{t_0-\epsilon }{\overset{t_0+\epsilon }{\int }}{e}^{-\frac{n}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2}\mathrm{d}t& \approx f(t_0)e^{-ng(t_0)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{n}{2}{g}^{″}(t_0)(t-t_0{)}^2}\mathrm{d}t\\ & =f(t_0)e^{-ng(t_0)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{n}{2}{g}^{″}(t_0)s^2}\mathrm{d}s\\ & =f(t_0)e^{-ng(t_0)}\sqrt{\frac{2\pi }{n{g}^{″}(t_0)}}\\ \end{array}$