Laméovy koeficienty (křivočaré souřadnice)

Laméovy koeficienty (též Lamého koeficienty) jsou v matematice výrazy, které udávají vztah mezi i-tým bázovým vektorem $\overrightarrow{{𝒆}_i}$ a derivací podle i-té souřadnice $\partial \overrightarrow{𝒙}/\partial q_i$. Vyskytují se ve vzorcích pro výpočet gradientu, divergence a rotace v jiných než kartézských souřadnicích (např. křivočarých). V případě ortogonálních souřadnic jsou vektory derivace podle souřadnice $\partial \overrightarrow{𝒙}/\partial q_i$ a gradient souřadnice $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{q}_i$ rovnoběžné a podíl jejich délek je kvadrát odpovídajícího Lamého koeficientu. Jsou pojmenovány po Gabrielu Laméovi.

Definice

Mějme n-rozměrný afinní prostor $V$ (tedy například trojrozměrný euklidovský prostor) a na něm zavedené souřadnice $q_i$. Dokážeme tedy vyjádřit zobrazení $X(q_1,...q_n)$, které n-tici souřadnic přiřadí jim odpovídající bod z $V$. Je-li toto zobrazení diferencovatelné, Lamého koeficienty $h_1$ až $h_n$ definujeme jako:

$h_i(q_1,...q_n)=\Vert \begin{array}{c}\frac{\partial X}{\partial q_i}(q_1,...q_n)\end{array}\Vert$

Každý Lamého koeficient je tedy vlastně skalární pole. Protože závislost na konkrétních souřadnicích je zřejmá z definice, je zvykem místo $h_i(q_1,...q_n)$ psát pouze $h_i$.

Protože se bázové vektory $\overrightarrow{{𝒆}_i}$ definují jako jednotkové vektory ve směru $\partial X/\partial q_i$, platí:

$\frac{\partial X}{\partial q_i}=\Vert \begin{array}{c}\frac{\partial X}{\partial q_i}\end{array}\Vert \overrightarrow{e_i}=h_i\overrightarrow{e_i}$

Jsou-li souřadnice $q_i$ navíc ortogonální, tedy platí-li $\overrightarrow{e_i}\perp \overrightarrow{e_j}$ pro každé $i\ne j$ (zde nám již nestačí afinní prostor, potřebujeme unitární prostor se skalárním součinem), potom navíc platí:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{q}_i=\frac{1}{h_i}\overrightarrow{e_i},\frac{\partial \overrightarrow{x}}{\partial q_i}={(h_i)}^2\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{q}_i$

kde $\overrightarrow{x}$ je polohový vektor v kartézských souřadnicích a předpokládáme, že $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}(q_1,...q_n)$ a $q_i=q_i(\overrightarrow{x})$.