Kvádr

Šablona:Infobox - mnohostěn Kvádr je trojrozměrné těleso – rovnoběžnostěn, jehož stěny tvoří šest pravoúhlých čtyřúhelníků (zpravidla obdélníků, ale existují i speciální případy jako např. čtverec). Má tři skupiny rovnoběžných hran shodné délky.

Vlastnosti

Výpočty

Objem $V$ a povrch $S$ kvádru lze vypočítat z délky jeho hran $a,b,c$ jako:

• $V=abc$
• $S=2(ab+bc+ac)$

Kvádr má tři různé délky stěnových úhlopříček, které jsou vlastně délkou úhlopříčky obdélníka ve vztahu k jeho stranám, a počítají se z Pythagorovy věty:

• $u_a=\sqrt{b^2+c^2}$
• $u_b=\sqrt{a^2+c^2}$
• $u_c=\sqrt{a^2+b^2}$

Všechny čtyři tělesové úhlopříčky jsou stejně dlouhé a protínají se ve středu souměrnosti. Délku tělesové úhlopříčky kvádru (tj. vzdálenost dvou vrcholů, které neleží ve stejné stěně) lze vypočítat rovněž z Pythagorovy věty:

• $u=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Kvádr má šest stěn obdélníkového tvaru (ve speciálních případech 2 čtvercové + 4 obdélníkové nebo 6 čtvercových) z nichž dvě protilehlé jsou vždy shodné, osm vrcholů a dvanáct hran z nichž čtveřice rovnoběžných má vždy shodnou délku.

Souměrnost

Kvádr je středově souměrný podle průsečíku svých úhlopříček.

Kvádr je osově souměrný podle tří os – spojnic středů protilehlých stěn.

Kvádr je rovinově souměrný podle tří rovin. Každá z těchto rovin je rovnoběžná s některou ze stěn kvádru a prochází průsečíkem úhlopříček kvádru.

Další vlastnosti

Každé dvě stěny kvádru jsou rovnoběžné nebo kolmé.

Speciální případy

Pravidelný čtyřboký hranol

Speciálním případem kvádru pro $a=b$ je pravidelný čtyřboký hranol. Ten má nejméně jednu dvojici protilehlých stěn čtvercovou – mluvíme o ní jako o základně nebo podstavě. O zbývajícím (potenciálně různém) rozměru pak mluvíme jako o výšce hranolu $v=c$.

Vzorce pro objem a povrch se nám v tomto případě zjednodušují na:

• $V=a^2.v$
• $S=2.a^2+4.a.v$

Literatura

• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, Šablona:ISBN, str. 114–115

Související články

• Krychle
• Obdélník
• Mnohostěn
• Hranol

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

• Šablona:Wikislovník