Kolmogorovův–Smirnovův test

Příklad použití Kolmogorova–Smirnova testu

Kolmogorovův-Smirnovův test je metoda matematické statistiky, která umožňuje testovat, zda dvě jednorozměrné náhodné proměnné pocházejí ze stejného rozdělení pravděpodobnosti, případně zda jedna jednorozměrná náhodná proměnná má předpokládané (teoretické) rozdělení. Autory metody jsou Andrej Nikolajevič Kolmogorov a Vladimir Ivanovič Smirnov. Existují dvě verze tohoto testu: jednovýběrový a dvouvýběrový.

Test pro jeden výběr

Jednovýběrový test ověřuje, zda se rozdělení náhodné veličiny v populaci liší od určitého teoretického rozdělení. Využívá se například pro ověření, zda má proměnná normální rozdělení.

Nulová hypotéza předpokládá, že testovaný výběr odpovídá vybranému teoretickému rozložení. Vstupem této varianty testu je $k$ tříd testovaného výběru a předpokládané teoretické rozdělení, které se rozdělí do stejného počtu tříd. Nad každou třídou testovaného výběru se spočítají četnosti $n_{1i}$ a nad každou třídou teoretického rozdělení se spočítají četnosti $n_{2i}$. Dále se hodnotí rozdíl kumulativních četností pro výběr $N_{1i}=\sum _{j=1}^i{n}_{1j}$ a pro testované rozdělení $N_{2i}=\sum _{j=1}^i{n}_{2j}$. Hodnoceným kritériem je pak

$D_1=\frac{1}{n}\underset{i}{\max }|N_{1i}-N_{2i}|$, kde $n$ je celkový počet prvků výběru.

Hodnota kritéria $D_1$ se porovná s kritickou hodnotou $D_{1max}$ pro danou hladinu významnosti α. Tato kritická hodnota bývá pro $n\le 40$ tabelována (např. zde), pro $n>40$ se spočítá podle následující tabulky.

Hladina významnosti α	D1max
20 %	$\frac{1.07}{\sqrt{n}}$
10 %	$\frac{1.22}{\sqrt{n}}$
5 %	$\frac{1.36}{\sqrt{n}}$
2 %	$\frac{1.52}{\sqrt{n}}$
1 %	$\frac{1.63}{\sqrt{n}}$

Jestliže je hodnota kritéria $D_1$ větší než kritická, nulová hypotéza se zamítá.

Test pro dva výběry

Dvouvýběrový test srovnává rozdělení dvou náhodných veličin. Je to jedna z nejpoužívanějších a nejvšeobecnějších neparametrických metod porovnávání dvou výběrů.

Nulová hypotéza říká, že dva výběry odpovídají stejnému rozdělení. V této variantě testu se srovnává rozdíl kumulativních četností ($n\le 40$) nebo relativních kumulativních četností ($n>40$) dvou výběrů (kde $n_1,n_2$ jsou celkové počty prvků výběru). Relativní kumulativní četnosti se spočítají jako $F_{1i}=\frac{1}{n}{N}_{1i}$ resp. $F_{2i}=\frac{1}{n}{N}_{2i}$. Hodnoceným kritériem je

$D_2=\underset{i}{\max }|N_{1i}-N_{2i}|$ resp. $D_2=\underset{i}{\max }|F_{1i}-F_{2i}|$.

Kritické hodnoty se pro danou hladinu významnosti α určí z následující tabulky.

Hladina významnosti α	D2max
20 %	$1.07\sqrt{\frac{n_1+n_2}{n_1{n}_2}}$
10 %	$1.22\sqrt{\frac{n_1+n_2}{n_1{n}_2}}$
5 %	$1.36\sqrt{\frac{n_1+n_2}{n_1{n}_2}}$
2 %	$1.52\sqrt{\frac{n_1+n_2}{n_1{n}_2}}$
1 %	$1.63\sqrt{\frac{n_1+n_2}{n_1{n}_2}}$

Jako v předchozí variantě platí, že nulová hypotéza se zamítá, jestliže je hodnota kritéria $D_2$ větší než kritická $D_{2max}$. V opačném případě se nezamítá.

Literatura

• Jaromír Baštinec: Statistika, operační výzkum, stochastické procesy. Skripta FEKT VUT v Brně, Brno 2009.