Koeficient determinace

Graf dvou regresních přímek s vysokým a nižším koeficientem determinace

Koeficient determinace, běžně označovaný ${𝑅}^2$ („R kvadrát“), je v matematické statistice míra kvality regresního modelu, která ve své základní podobě vyjadřuje, jaký podíl variability závisle proměnné model vysvětluje. Koeficient determinace může nabývat hodnoty maximálně 1 (nebo vyjádřeno v procentech 100 %), což znamená dokonalou predikci hodnot závisle proměnné. Naopak hodnota 0 (resp. 0 %) znamená, že model nepřináší pro poznání závisle proměnné žádnou informaci, je zcela neužitečný.

Koeficient determinace lineárního regresního modelu se obvykle definuje jako jedna minus podíl rozptylu chyb (tj. rozdílů mezi predikcemi modelu a skutečnými hodnotami nezávisle proměnné) a rozptylu nezávisle proměnné. To vede na definiční rovnici

${𝑅}^2\equiv 1-\frac{S{S}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}}{S{S}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}}=1-\frac{\sum \mathrm{\backslash nolimits}{(y_i-{\hat{y}}_i)}^2}{\sum \mathrm{\backslash nolimits}{(y_i-\bar{y})}^2}=\frac{\sum \mathrm{\backslash nolimits}{({\hat{y}}_i-\bar{y})}^2}{\sum \mathrm{\backslash nolimits}{(y_i-\bar{y})}^2}$,

kde $S{S}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}$ je suma čtverců chyb (residuí), $S{S}_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}$ suma kvadratických odchylek závisle proměnné $y$ od její střední hodnoty $\bar{y}$ a ${\hat{y}}_i$ je regresní odhad $i$-tého pozorování. Koeficient determinace má za těchto okolností zároveň význam čtverce Pearsonova korelačního koeficientu mezi pozorovanými a modelem odhadnutými hodnotami závisle proměnné.

Koeficient determinace má tendenci růst s počtem nezávisle proměnných v regresním modelu, i když tyto přidávané proměnné nenesou žádnou novou informaci o závisle proměnné. Aby se tomuto umělému nárůstu ${𝑅}^2$předešlo, navrhl Henri Theil adjustovaný koeficient determinace ${\overline{R}}^2$, který opravuje odhadovanou inflaci původního koeficientu determinace a počítá se podle vzorce

${\overline{R}}^2=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-p-1}$,

kde $n$ je počet pozorování v souboru a $p$ počet proměnných v modelu. ${\overline{R}}^2$ může vyjít i menší než nula. Postupů pro adjustaci koeficientu determinace je nicméně velké množství, určených pro různé druhy zobecnění kvality predikce.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat