Kardioida

Vznik srdcovky kotálením

Srdcovka a parabola navzájem zobrazené kruhovou inverzí

Kardioida (z řeckého καρδία – srdce) neboli srdcovka je algebraická rovinná křivka 4. stupně (kvartika). Patří mezi kotálnice (cykloidy) a lze ji sestrojit jako trasu pevně daného bodu kružnice, která se kotálí kolem kružnice o stejném poloměru. Zároveň patří mezi konchoidy a lze ji konstruovat tak, že se na kružnici zvolí bod a na všech sečnách procházejících tímto bodem se vezmou body vzdálené od druhého průsečíku právě o poloměr řečené kružnice. Také ji lze získat jako obraz paraboly při kruhové inverzi.

Pojmenoval ji v roce 1741 italský matematik Giovanni Salvemini.

Srdcovka je součástí obrazce ve fraktálu Mandelbrotovy množiny.

Rovnice

Kardioida v kartézském souřadnicovém systému s vyznačenými konstrukčními kružnicemi

Kardioidu lze popsat následujícím parametrickým vyjádřením v kartézských souřadnicích (a je poloměr kružnic při kotálení, počátek je v středu nehybné kružnice):

$x=a(2\cos t-\cos 2t-1),$

$y=a(2\sin t-\sin 2t).$

V komplexní rovině tomu odpovídá parametrizace

$z=a(2e^{it}-e^{2it}).$

Příslušná obecná rovnice v kartézských souřadnicích je

$(x^2+y^2-a^2{)}^2-4a^2((x-a{)}^2+y^2)=0,$

respektive v komplexní rovině

$(z\overline{z}-a^2{)}^2-4a^2(z-a)(\overline{z}-a)=0$.

Další možností je zápis v polárních souřadnicích:

$r=2a(1-\cos \theta ).$

Míry

Délka srdcovky je rovna

$l=16a$

a obsah její vnitřní oblasti

$S=6\pi a^2$.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Otto
• Šablona:Wikislovník
• Šablona:MathWorld