Křivost křivky

Křivost křivky je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky. Má význam v diferenciální geometrii či při výpočtu průhybů nosníků. Lze také říci, že v daném bodě křivky $f$ se její křivost nejlépe přimyká kružnici, jejíž poloměr se nazývá poloměr křivosti v tomto bodě. Křivost určuje míru vychýlení křivky od její tečny v daném bodě.

Vztahy pro výpočet křivosti křivky

• Je-li známá rovnice rovinné křivky $y=f(x)$ v kartézském souřadném systému, pak křivost křivky $\kappa$ je převrácená hodnota poloměru křivosti křivky r . Platí

$\kappa =\frac{1}{r}=\frac{\frac{d^{2}f}{d{x}^2}}{[1+(\frac{df}{dx}{)}^2{]}^{3/2}}=\frac{y^{″}}{[1+y{\text{'}}^2{]}^{3/2}}$.

V některých případech je vhodné výše uvedený nelineární vztah zjednodušit, potom platí

$\kappa =\frac{1}{r}\approx \frac{\frac{d^{2}f}{d{x}^2}}{1+\frac{3}{2}(\frac{df}{dx}{)}^2}\approx \frac{d^{2}f}{d{x}^2}$.

Výše uvedený vztah je používaný v základní mechanice nosníků.

• Je-li rovinná křivka zadaná parametricky $x=x(t),y=y(t)$ v kartézském souřadném systému

$\kappa =\frac{|y^{″}{x}^{\prime }-x^{″}{y}^{\prime }|}{({x^{\prime }}^2+{y^{\prime }}^2{)}^{3/2}}.$

Další informace

Inflexní bod křivky je bod, kde má nulovou křivost.

Poloměr křivosti křivky je poloměrem její oskulační kružnice.

Kružnice je křivka s konstantním poloměrem křivosti, který je v absolutní hodnotě roven poloměru kružnice. Přímka, polopřímka a úsečka mají nekonečný poloměr křivosti (tj. přímku si lze představit jako kružnici o nekonečném poloměru). Kružnice, přímka, polopřímka a úsečka jsou jediné rovinné křivky s konstantní křivostí, viz řešené příklady.

V obecném případě, u prostorových křivek se používají pro výpočet křivosti Frenetovy vzorce.

Křivost má význam v diferenciální geometrii, kinematice či při výpočtu průhybů a napětí u nosníků, desek a skořepin v mechanice, v optice (poloměr křivosti optických čoček a zrcadel) aj.

Blíže např. , a elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch .

Příklady výpočtu

Křivost přímky, polopřímky či úsečky (nejjednodušší příklad)

Přímka, polopřímka či úsečka je daná rovnicí $f=f(x)=kx+q$, kde $k,q$ jsou konstanty.

Pro derivace $f$ platí $\frac{df}{dx}=k$ a $\frac{d{f}^2}{d{x}^2}=0$.

Pro křivost přímky pak platí $\kappa =\frac{\frac{d^{2}f}{d{x}^2}}{[1+(\frac{df}{dx}{)}^2{]}^{3/2}}=\frac{0}{[1+(k{)}^2{]}^{3/2}}=0$.

Křivost kružnice

kružnice je daná např. rovnicí $f=f(x)=\pm \sqrt{r^2-x^2}$, kde $r$ je poloměr kružnice.

Pro derivace $f$, pak platí $\frac{df}{dx}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$ a $\frac{d{f}^2}{d{x}^2}=\frac{-r^2}{(\sqrt{r^2-x^2}{)}^3}$ .

Pro křivost dané kružnice pak platí $\kappa =\frac{\frac{d^{2}f}{d{x}^2}}{[1+(\frac{df}{dx}{)}^2{]}^{3/2}}=\frac{\frac{-r^2}{(\sqrt{r^2-x^2}{)}^3}}{[1+(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}{)}^2{]}^{3/2}}=-1/r$.

Výpočet křivosti v software Mathcad

Na následujícím obrázku je provedeno odvození vztahu pro křivost kvadratické rovnice (f(x) = ax²+bx+c) v sw Mathcad (ukázka programování, tzv. symbolický výpočet).

• 
  Odvození vztahu pro křivost v sw Mathcad (kvadratická rovnice)

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Elektronická učebnice diferenciální geometrie křivek a ploch
• Nosník na pružném podkladu
• Poloměr křivosti