Identická relace

Identická relace (někdy také prostě identita) na množině $X$, označovaná obvykle $i{d}_X$, je binární relace, pro kterou platí:

$i{d}_X=\{(a,a);a\in X\}$

Zjednodušeně řečeno: v identické relaci je každý prvek podkladové množiny obsažen pouze jednou - a to sám se sebou.

Příklady a vlastnosti

• Relace = je identita na přirozených, celých, racionálních, reálných i komplexních číslech.
• Relace < není identita na přirozených číslech, protože 1<2 - v relaci < je tedy obsažena „neidentická“ dvojice .

Obecněji by se dalo říct, že relace = je obvykle zaváděna jako identita ve všech matematických strukturách, nejen výše uvedených číselných oborech (vizte například teorie množin, algebraické struktury).

Identita jako nejmenší ekvivalence

Identita $i{d}_X$ je ekvivalence na množině $X$ - je reflexivní, symetrická i tranzitivní. Navíc pokud na množině všech ekvivalencí na $X$ definujeme uspořádání podle zjemnění rozkladu, pak je $i{d}_X$ nejmenší prvek množiny všech ekvivalencí na $X$ vzhledem k tomuto uspořádání (identitu již nelze dále zjemnit, protože každá její rozkladová množina má pouze jeden prvek).

Identita jako nejmenší neostré uspořádání

Identita je $i{d}_X$ je také neostré uspořádání množiny $X$. Není to nijak zajímavé uspořádání - žádné dva různé prvky nejsou porovnatelné. Jedná se ale opět o nejmenší prvek - tentokrát množiny všech neostrých uspořádání množiny $X$.