Hypergraf

Příklad hypergrafu, formálně $X=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,v_7\}$, $E=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ $=\{\{v_1,v_2,v_3\},\{v_2,v_3\},$ $\{v_3,v_5,v_6\},\{v_4\}\}$.

Hypergraf je pojem z teorie grafů. Jedná se o zobecnění pojmu graf. Rozdíl je v tom, že hrany hypergrafu (hyperhrany) mohou spojovat libovolný počet vrcholů, zatímco u grafu spojují hrany vždy dva vrcholy.

Definice

Hypergraf H je dvojice $H=(X,E)$, kde $X$ je množina vrcholů a $E$ je množina některých podmnožin $X$, ty se nazývají hyperhrany. To lze stručněji zapsat tak, že $E\subseteq 𝒫(X)$ (kde $𝒫(X)$ je potenční množina $X$).

Tato definice splývá s definicí pojmu množinového systému.

Varianty definice

Definice hypergrafu však není zcela ustálená, v literatuře se objevují následující varianty:

• Hyperhrana nesmí být prázdná.
• Hypergraf nesmí obsahovat izolované vrcholy (aby duální hypergraf nesl veškerou informaci).
• Hypergraf nesmí obsahovat dva vrcholy obsažené ve stejných hranách (aby duální hypergraf neměl multihyperhrany).
• Pokud E je multimnožina, jedná se o multihypergraf.

Hypergraf jako bipartitní graf

Každý hypergraf se dá popsat jako bipartitní graf: první partita jsou vrcholy, druhá hyperhrany a hrany jsou mezi každým vrcholem a hranou, která ho obsahuje.

Duální hypergraf

Duální hypergraf H* vznikne „prohozením“ hyperhran a vrcholů. H*=(E,Y), přičemž Y jsou množiny hran, za každý vrchol je přidána množina všech hran, které vrchol obsahují. Pokud mají dva vrcholy stejnou takovou množinu, vznikne v duálu multihyperhrana.

Pokud H neobsahuje izolované vrcholy, pak H=H**.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat