Hertzův tlak

Schema Hertzova modelu styčného tlaku

Hertzův tlak (neboli styčný tlak ev. kontaktní pnutí) je tlak, který vzniká v místě vzájemného silového působení dvou těles s definovaným zakřivením povrchu. Svůj název nese po německém fyzikovi Heinrichu Hertzovi, který řešení této úlohy (formulované jako tzv. Hertzův model) publikoval v roce 1882.

Hertzův model

Hertzův model je založen na těchto předpokladech:

• Rozměr stykové plošky je podstatně menší než poloměry křivosti dotýkajících se těles
• Všechna vzniklá napětí jsou menší, než meze pružnosti těles
• Na stykové ploše je nulové tření i adheze

Výpočet

V obecném zadání figurují parametry dotýkajících se těles (těleso 1 a těleso 2):

• hlavní křivosti – menší $k_a$ a větší $k_b$ (kde $k=\frac{1}{r}$), což jsou navzájem kolmé největší a nejmenší křivosti ve stykovém bodě.
  U těles vydutých (střed křivosti plochy leží mimo těleso) má křivost zápornou hodnotu $-k$.
• úhel natočení – $\varphi$ úhel mezi rovinami křivosti $k_{1a}$ a $k_{2a}$
  Pokud je jedním z těles koule, pak je $k_a=k_b=k$ a $\varphi =0$
• moduly pružnosti materiálů těles – $E_1$ a $E_2$
• Poissonova čísla materiálů těles – ${\nu }_1$ a ${\nu }_2$

Obecné řešení

Odvození velikosti tlaku ve styčné ploše vychází z deformačních podmínek tuhých těles, kdy se nejprve stanoví velikost a tvar stykové plochy, jimž je obecně elipsa. Průběh tlaku na stykové ploše je parabolický (pokud nepřekročí mez pružnosti jednoho z materiálů), což vychází z průběhu deformace radiusu povrchu. Maximální tlak vyvozený silou $F$ se nachází uprostřed dotykové elipsy a má velikost

$p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=1,5\cdot \frac{F}{\pi ab}$  , kde $a$ a $b$ jsou rozměry poloos dotykové elipsy:

$a=\alpha \cdot \sqrt[3]{\frac{Fm}{n}}$
$b=\beta \cdot \sqrt[3]{\frac{Fm}{n}}$

V těchto formulích je hodnota činitelů
$m=\frac{4}{k_{1a}+k_{1b}+k_{2a}+k_{2b}}$
$n=\frac{4}{3}\cdot \frac{E}{(1-{\nu }^2)}$   pro $E_1=E_2=E$ a  ${\nu }_1={\nu }_2=\nu$

Konstanty $\alpha$ a $\beta$ jsou definovány v tabulce podle úhlového parametru $\theta$, který se vypočte jako $\theta =\arccos (\frac{m}{4}\cdot \sqrt{(k_{1a}-k_{1b}{)}^2+(k_{2a}-k_{2b}{)}^2+2\cdot (k_{1a}-k_{1b})\cdot (k_{2a}-k_{2b})\cdot \cos 2\varphi })$

Konstanty pro výpočet poloos dotykové elipsy

$\theta$	20°	30°	35°	40°	45°	50°	55°	60°	65°	70°	75°	80°	85°	90°
$\alpha$	3,778	2,731	2,397	2,136	1,926	1,754	1,611	1,486	1,378	1,284	1,202	1,128	1,061	1,00
$\beta$	0,408	0,493	0,530	0,567	0,604	0,641	0,678	0,717	0,759	0,802	0,846	0,893	0,944	1,00

Případy se zcela obecným zadáním jsou v praxi velice ojedinělé a přibližuje se k nim například odvalování kuličky v rádiusové drážce valivého ložiska.

Typické případy

V typických případech figurují obvykle koule, válec a rovina.
Pro zjednodušení lze brát ${\nu }_1={\nu }_2=0,3$

koule – koule

V tomto případě je styková plocha kruhová ($r_{1a}=r_{1b}=\frac{d_1}{2}$ a $r_{2a}=r_{2b}=\frac{d_2}{2}$) a její poloměr je $a=0,7\cdot \sqrt[3]{F\cdot \frac{\frac{1}{E_1}+\frac{1}{E_2}}{\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}}}$

Maximální tlak pak je:  $p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=1,5\cdot \frac{F}{\pi a^2}$
Přiblížení středů koulí je $\delta =0,97\cdot \sqrt[3]{F^2\cdot {(\frac{1}{E_1}+\frac{1}{E_2})}^2\cdot (\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2})}$

---

koule – rovina

Rovina je v podstatě koule o nekonečném poloměru, tudíž $\frac{1}{d_2}=0$ a pak je poloměr stykové plochy $a=0,7\cdot \sqrt[3]{F\cdot \frac{\frac{1}{E_1}+\frac{1}{E_2}}{\frac{1}{d_1}}}$

Maximální tlak pak je:  $p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=1,5\cdot \frac{F}{\pi a^2}$

V případě shodných materiálů koule i podložky ($E_1=E_2=E$) dostaneme vztahy:

$a=0,88\cdot \sqrt[3]{\frac{Fd}{E}}$ ;   $p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=0,62\cdot \sqrt[3]{\frac{F{E}^2}{d^2}}$ ;  $\delta =1,54\cdot \sqrt[3]{\frac{F^2}{E^{2}d}}$

Pro kalenou ocelovou kouli na kalené ocelové rovině lze použít pro určení dovolené zátěže při maximálním dovoleném tlaku $p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=3700MPa$
přibližný vzoreček: $F_{dov}=500\cdot d^2$   pro F v [N] a d v [cm].

---

rovnoběžné válce

Styková plocha má tvar obdélníka o šířce b, takže

$b=1,52\cdot \sqrt{q\cdot \frac{\frac{1}{E_1}+\frac{1}{E_2}}{\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}}}$ , kde $q=\frac{F}{l}$ je zatížení vztažené na jednotku délky

Maximální tlak pak je:  $p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{4q}{\pi b}$

---

válec – rovina

V tomto případě platí $b=1,52\cdot \sqrt{q\cdot \frac{\frac{1}{E_1}+\frac{1}{E_2}}{\frac{1}{d_1}}}$

Maximální tlak pak je:  $p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{4q}{\pi b}$

V případě shodných materiálů válce i podložky ($E_1=E_2=E$) dostaneme vztahy:

$b=2,15\cdot \sqrt{\frac{qd}{E}}$ ;   $p_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=0,591\cdot \sqrt{\frac{qE}{d}}$ ;  $\delta =0,58\cdot \frac{q}{E}\cdot (\frac{1}{3}+\ln \frac{2d}{b})$

Při předběžném návrhu mostních ložisek lze použít zjednodušený vzoreček $q=500\cdot d$   pro q v [N/cm] a d v [cm].

Odlišné vzorce

V literatuře se vyskytují i poněkud odlišné vzorce. Je to jednak použitím jiné úpravy konstant a jednak použitím
tzv. redukovaného modulu pružnosti $\frac{1}{E_{red}}=\frac{1-{\nu }_1^2}{E_1}+\frac{1-{\nu }_2^2}{E_2}$
a tzv. ekvivalentního rádiusu $\frac{1}{r_e}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}$

Jiné modely kontaktního pnutí

Zohledňují vliv adheze:

• Bradleyův model
• Model pružného kontaktu Johnson-Kendall-Roberts (JKR)
• Model pružného kontaktu Derjaguin-Muller-Toporov (DMT)
• Taborův parametr – spojuje modely JKR a DMT
• Model pružného kontaktu Maugis-Dugdale
• Model Carpick-Ogletree-Salmeron (COS)

– dle odstavce „Adhesive contact between elastic bodies“ v článku „Contact mechanics“ na anglické Wikipedii