Harmonická řada

Harmonická řada je posloupnost částečných součtů posloupnosti převrácených hodnot přirozených čísel

{(\frac{1}{n})}_{n = 1}^{\infty} = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots

.

Vlastnosti

Řada se nazývá harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ , řada diverguje (její součet je plus nekonečno),

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = + \infty .

To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil Mikuláš Oresme:

s_{2^{n}} = \sum_{k = 1}^{2^{n}} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{n}} \geq 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + . . . + (\frac{1}{2^{n}} + . . . + \frac{1}{2^{n}}) = 1 + \frac{n}{2} .

Posloupnost částečných součtů tedy roste logaritmicky, pro $m = 2^{n}$ tedy platí

s_{m} \geq 1 + \frac{1}{2} \log_{2} m .

To je vidět i pomocí určitého integrálu:

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \geq \int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x = \ln (n + 1) .

Přesněji platí zajímavý vztah

\lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n) = γ,

Členy posloupnosti částečných součtů se nazývají harmonická čísla a značí se

H_{n} = s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

.

Je např. zajímavé, že desetinná čísla s konečným desetinným rozvojem jsou jen $H_{1}, H_{2}$ a $H_{6} (= 2, 45)$ .