Hankelova matice

Barevné vyjádření vzoru Hankelovy matice

V lineární algebře se čtvercová matice nazývá Hankelova, pokud má konstantní hodnoty v rámci všech řad rovnoběžných s vedlejší diagonálou. (Matice s konstantními radami rovnoběžnými s hlavní diagonálou se nazývají Toeplitzovy.)

Matice je pojmenována po německém matematiku Hermannu Hankelovi (1839–1873).

Definice

Hankelova matice $𝑨$ řádu $n$ určená $(2n-1)$-ticí čísel $c_2,c_3,\dots ,c_{2n}$ je definována vztahem $a_{ij}=c_{i+j}$.

Obsah matice lze znázornit pomocí diagramu:

$𝑨=\left(\begin{array}{cccccc}{c}_2& c_3& c_4& \dots & \dots & c_{n+1}\\ c_3& c_4& \dots & \dots & c_{n+1}& ⋮\\ c_4& ⋮& & .& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& .& & ⋮& c_{2n-2}\\ ⋮& c_{n+1}& \dots & \dots & c_{2n-2}& c_{2n-1}\\ c_{n+1}& \dots & \dots & c_{2n-2}& c_{2n-1}& c_{2n}\end{array}\right)$

Ukázka

Hankelova matice řádu 5 má podobu:

$\left(\begin{array}{ccccc}a& b& c& d& e\\ b& c& d& e& f\\ c& d& e& f& g\\ d& e& f& g& h\\ e& f& g& h& i\end{array}\right),$

Hankelova matice řádu 4 určená sedmicí 1,3,5,7,9,5,6:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& 7\\ 3& 5& 7& 9\\ 5& 7& 9& 5\\ 7& 9& 5& 6\end{array}\right)$

Vlastnosti

• Pro indexy splňující $i\le j$ platí, že $a_{ij}=a_{i+k,j-k}$ pro všechna $k=1,...,j-i$.

• Hankelova matice je vždy symetrická.
• Vektorový prostor Hankelových matic má dimenzi $2n-1$.
• Do třídy Hankelových matic náleží Hilbertovy matice.