Hadamardova nerovnost

Hadamardova nerovnost je označení pro matematickou nerovnost poprvé zveřejněnou Jacquesem Hadamardem v 1893 a vymezující maximální možnou hodnotu determinantu matice složené z komplexních vektorů. V případě reálných čísel ji je možné v n-rozměrném eukleidovském prostoru interpretovat jako horní mez maximálního možného objemu rovnoběžnostěnu vymezeného n vektory $v_i$ vzhledem k jejich délkám $||v_i||$.

Hadamardova nerovnost říká, že pokud je V matice se sloupci $v_i$, pak

$|\det (V)|\le \prod _{i=1}^n\Vert v_i\Vert ,$

a rovnosti je dosaženo pouze v těch případech, kdy jsou na sebe vektory kolmé a nebo je některý ze sloupců roven nulovému vektoru.

Důsledky

Jedním z důsledků je, že pokud jsou prvky čtvercové matice $V$ řádu $n$ menší nebo rovny mezi $B$, tedy $|V_{ij}|\le B$ pro všechna $i,j$, pak

$|\det (V)|\le B^n{n}^{n/2}.$

Jsou-li speciálně prvky matice rovny jen +1 a −1, pak

$|\det (V)|\le n^{n/2}.$

Matice, pro které v tomto případě platí rovnost, se nazývají Hadamardovy matice.