Grashofovo číslo

Grashofovo číslo (Gr) je podobnostní číslo v dynamice tekutin a přenosu tepla, které udává poměr vztlaku a viskózní síly působící na kapalinu. Často se objevuje při popisu volné konvekce. Je pojmenované po německém inženýrovi Franzi Grashofovi.

Použití

Grashofovo číslo je:

${\mathrm{G}\mathrm{r}}_L=\frac{g\beta (T_s-T_{\mathrm{\infty }})L^3}{{\nu }^2}$ pro svislou desku

${\mathrm{G}\mathrm{r}}_D=\frac{g\beta (T_s-T_{\mathrm{\infty }})D^3}{{\nu }^2}$ pro trubku

${\mathrm{G}\mathrm{r}}_D=\frac{g\beta (T_s-T_{\mathrm{\infty }})D^3}{{\nu }^2}$ pro obtékaná tělesa

kde:

g je gravitační zrychlení

β je teplotní součinitel objemové roztažnosti (přibližně rovný 1/T pro ideální plyny)

T_s je povrchová teplota

T_∞ je průměrná teplota

L je výška desky

D je vnitřní průměr

ν je kinematická viskozita.

Indexy L a D naznačují charakteristický rozměr.

Přechod k turbulentnímu proudění dochází při 10⁸ < Gr_L < 10⁹ pro přirozenou konvekci na svislé stěně. Při vyšších Grashofových číslech je mezní vrstva turbulentní a při nižších laminární.

Grashofovo číslo spolu s Prandtlovým číslem dává Rayleighovo číslo, bezrozměrnou veličinu charakterizující konvekci v přenosu tepla.

Přenos hmoty

Existuje analogická forma Grashofova čísla používaná v případech volné konvekce v přenosu hmoty.

${\mathrm{G}\mathrm{r}}_c=\frac{g{\beta }^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^3}{{\nu }^2}$

kde:

${\beta }^{*}=-\frac{1}{\rho }{\left(\frac{\partial \rho }{\partial C_a}\right)}_{T,p}$

a:

g je gravitační zrychlení

C_a,s je koncentrace a na povrchu

C_a,a je koncentrace a v okolním médiu

L je charakteristická délka

ν je kinematická viskozita

ρ je hustota kapaliny

C_a je koncentrace a

T je teplota (konstantní)

p je tlak (konstantní).

Derivace

Prvním krokem k derivaci Grashofova čísla je úprava koeficientu objemové roztažnosti, $\mathrm{\beta }$.

$\beta =\frac{1}{v}{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_p=\frac{-1}{\rho }{\left(\frac{\partial \rho }{\partial T}\right)}_p$

Měli byste mít na paměti, že $v$ ve výše uvedené rovnici zastupuje měrný objem, a není stejné jako $v$ v následující sekci, které reprezentuje rychlost. Vztah, dávající do souvislosti koeficient objemové roztažnosti $\mathrm{\beta }$ a hustotu $\mathrm{\rho }$ při konstantním tlaku, může být zapsán jako:

$\rho ={\rho }_o(1-\beta \mathrm{\Delta }T)$

kde:

${\rho }_o$ je průměrná hustota tekutiny

$\rho$ je hustota mezní vrstvy tekutiny

$\mathrm{\Delta }T=(T-T_o)$ je teplotní rozdíl mezi mezní vrstvou a tekutinou

Existují dva způsoby, jak zjistit Grashofovo číslo. První využívá bilanci energie, zatímco druhý využívá vztlakovou sílu díky rozdílu hustoty mezi mezní vrstvou a zbytkem tekutiny.

Energetická bilance

Využíváme bilanci energie pro rotačně symetrické proudění. Tato analýza v sobě zahrnuje jak gravitační zrychlení, tak i přenos tepla. Matematické rovnice dále charakterizují jak rotačně symetrické proudění, tak dvourozměrné rovinné proudění.

$\frac{\partial }{\partial s}(\rho u{r}_o^n)+\frac{\partial }{\partial y}(\rho v{r}_o^n)=0$

kde:

$s$ je směr rotace, tj. směr rovnoběžný s povrchem

$u$ je tangenciální rychlost, tj. rychlost rovnoběžná s povrchem

$y$ je vektor roviny, tj. směr kolmý na povrch

$v$ je normálová rychlost, tj. rychlost kolmá na povrch

$r_o$ je poloměr.

V této rovnici horní index n určuje, zda se jedná o rotačně symetrický proudění nebo rovinné proudění.

$n$ = 1: rotačně symetrické proudění

$n$ = 0: rovinné, dvoufázové proudění

$g$ je gravitační zrychlení

Tato rovnice se rozšíří o fyzikální vlastnosti tekutiny:

$\rho (u\frac{\partial u}{\partial s}+v\frac{\partial u}{\partial y})=\frac{\partial }{\partial y}\left(\mu \frac{\partial u}{\partial y}\right)-\frac{dp}{ds}+\rho g.$

Kde můžeme dále zjednodušit rovnici hybnosti tím, že položíme rychlost celé tekutiny rovnou 0 (u = 0).

$\frac{dp}{ds}={\rho }_{o}g$

Tento vztah ukazuje, že gradient tlaku je dán pouze rozdílem hustoty kapaliny a gravitačním zrychlením. Dalším krokem je vložení gradientu tlaku do rovnice hybnosti.

$\rho (u\frac{\partial u}{\partial s}+v\frac{\partial u}{\partial y})=\mu \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)+\rho g\beta (T-T_o)$

Další zjednodušení rovnice hybnosti dosáhneme dosazením koeficientu objemové roztažnosti místo rozdílu hustot ${\rho }_o-\rho =\beta \rho (T-T_o)$, a vztahem pro kinematickou viskozitu, $\nu =\frac{\mu }{\rho }$.

$u\left(\frac{\partial u}{\partial s}\right)+v\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)=\nu \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)+g\beta (T-T_o)$

Pro zjištění Grashofova čísla musí být výše uvedená rovnice bezrozměrná. To znamená, že žádná proměnná v rovnici nesmí obsahovat rozměr, a namísto toho má obsahovat charakteristické poměry pro uvedený případ. Toho se dosáhne podělením všech proměnných příslušnými konstantními množstvími. Délky jsou poděleny charakteristickou délkou, $L_c$. Rychlosti jsou poděleny příslušnými referenčními rychlostmi, $V$, které berou v úvahu Reynoldsovo číslo $V=\frac{{\mathrm{R}\mathrm{e}}_L\nu }{L_c}$. Teploty jsou poděleny vhodnými rozdíly teplot, $(T_s-T_o)$. Tyto bezrozměrné parametry vypadají pak takto:

$s^{*}=\frac{s}{L_c}$,

$y^{*}=\frac{y}{L_c}$,

$u^{*}=\frac{u}{V}$,

$v^{*}=\frac{v}{V}$,

$T^{*}=\frac{(T-T_o)}{(T_s-T_o)}$.

Hvězdičky představují bezrozměrné parametry. Zkombinováním těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti dostáváme následující zjednodušenou rovnici.

$u^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial s^{*}}+v^{*}\frac{\partial u^{*}}{\partial y^{*}}=\left[\frac{g\beta (T_s-T_o)L_c^3}{{\nu }^2}\right]\frac{T^{*}}{{\mathrm{R}\mathrm{e}}_L^2}+\frac{1}{{\mathrm{R}\mathrm{e}}_L}\frac{{\partial }^2{u}^{*}}{\partial {y^{*}}^2}$

kde:

$T_s$ je povrchová teplota

$T_o$ je teplota kapaliny

$L_c$ je charakteristická délka.

Bezrozměrný parametr v hranaté závorce v předchozí rovnici je Grashofovo číslo:

$\mathrm{G}\mathrm{r}=\frac{g\beta (T_s-T_o)L_c^3}{{\nu }^2}.$

Buckinghamův Pi Teorém

Další formovou bezrozměrné analýzy, kterou získáme Grashofovo číslo, je známý jako Buckinghamův Pi Teorém. Tato metoda zahrnuje vztlakovou sílu každého objemu $F_b$ díky rozdílu hustoty v mezní vrstvě a zbytku kapaliny.

$F_b=(\rho -{\rho }_o)g$

Tato rovnice může být upravena:

$F_b=\beta g{\rho }_o\mathrm{\Delta }T.$

Seznam použitých proměnných v této metodě je umístěn níže.

Proměnná	Symbol	Rozměr
Charakteristická délka	$L$	$\mathrm{L}$
Viskozita tekutiny	$\mu$	$\frac{M}{Lt}$
Tepelná kapacita tekutiny	$c_p$	$\frac{Q}{MT}$
Tepelná vodivost tekutiny	$\lambda$	$\frac{Q}{LtT}$
Koeficient objemové roztažnosti	$\beta$	$\frac{1}{T}$
Gravitační zrychlení	$g$	$\frac{L}{t^2}$
Rozdíl teplot	$\mathrm{\Delta }T$	$\mathrm{T}$
Součinitel přestupu tepla	$\alpha$	$\frac{Q}{L^{2}tT}$

S ohledem na Buckinghamův pi teorém existuje 9 – 5 = 4 bezrozměrných skupin. Vybereme-li L, $\mu ,\lambda$, g a $\beta$ jako referenční proměnné, pak skupiny $\pi$ jsou následující:

${\pi }_1=L^a{\mu }^b{\lambda }^c{\beta }^d{g}^e{c}_p$,

${\pi }_2=L^f{\mu }^g{\lambda }^h{\beta }^i{g}^j\rho$,

${\pi }_3=L^k{\mu }^l{\lambda }^m{\beta }^n{g}^o\mathrm{\Delta }T$,

${\pi }_4=L^q{\mu }^r{\lambda }^s{\beta }^t{g}^{u}h$.

Vyřešením těchto skupin $\pi$ dostaneme:

${\pi }_1=\frac{\mu (c_p)}{\lambda }=Pr$,

${\pi }_2=\frac{l^{3}g{\rho }^2}{{\mu }^2}$,

${\pi }_3=\beta \mathrm{\Delta }T$,

${\pi }_4=\frac{\alpha L}{\lambda }=Nu$

Ze dvou skupin ${\pi }_2$ a ${\pi }_3,$ získáme Grashofovo číslo:

${\pi }_2{\pi }_3=\frac{\beta g{\rho }^2\mathrm{\Delta }T{L}^3}{{\mu }^2}=\mathrm{G}\mathrm{r}.$

Použitím $\nu =\frac{\mu }{\rho }$ a $\mathrm{\Delta }T=(T_s-T_o)$ může být předchozí rovnice přepsána na stejný výsledek jako při derivování Grashofova čísla z bilance energie.

$\mathrm{G}\mathrm{r}=\frac{\beta g\mathrm{\Delta }T{L}^3}{{\nu }^2}$

Při nucené konvekci řídí Reynoldsovo číslo proudění tekutiny, ale při přirozené konvekci tuto funkci zastává Grashofovo číslo.

Reference

• Jaluria, Yogesh. Natural Convection Heat and Mass Transfer (New York: Pergamon Press, 1980).
• Cengel, Yunus A. Heat and Mass Transfer: A Practical Approach, 3rd Edition (Boston: McGraw Hill, 2003).
• Eckert, Ernst R. G. and Drake, Robert M. Analysis of Heat and Mass Transfer (New York: McGraw Hill, 1972).
• Welty, James R. Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer (New York: John Wiley & Sons, 1976).