Existenční kvantifikátor

Šablona:Charmap Existenční kvantifikátor (∃) (také malý kvantifikátor) je matematický symbol používaný nejčastěji v predikátové logice. Do běžného jazyka lze jeho význam přeložit jako „existuje“. Duálním kvantifikátorem k němu je obecný kvantifikátor s významem „pro každé“.

Etymologie

Znak ∃ pro existenční kvantifikátor vznikl převrácením písmena E z latinského existo a anglického Šablona:Cizojazyčně – existuje.

Ukázka použití

Řekněme, že chceme napsat matematickou formuli, která bude pravdivá právě tehdy, pokud nějaké přirozené číslo na druhou je rovno 25. Nejjednodušším přístupem by bylo napsat následující formuli:

0·0 = 25 nebo 1·1 = 25 nebo 2·2 = 25 nebo 3·3 = 25 atd.

Mohlo by se zdát, že toto je korektní formule výrokové logiky, protože jediná použitá spojka je "nebo". Ve výrokové logice bohužel není možno použít nekonečně mnoho spojek v jedné formuli a proto je potřeba zvolit jiný přístup, například rozšířit logiku tak, aby byla schopna vyjádřit následující formuli:

Pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25.

Tato formule používá existenční kvantifikátor a přesněji vyjadřuje původní tvrzení, jelikož v původní formuli nebyl význam termínu atd. přesně zadefinován. Nebylo například zřejmé, že se má pokračovat pro všechna přirozená čísla. Oproti tomu druhá formule přímo specifikuje, že se jedná o přirozená čísla.

Formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" je pravdivá, protože pokud nahradíme n číslem 5, dostaneme 5.5=25, což platí. Nezáleží na tom, zda pro ostatní n tvrzení platí (v tomto případě dokonce neplatí pro žádné číslo různé od 5). Stačí najít jedno jediné číslo.

Pokud změníme formuli na "Pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25", dostaneme nepravdivé tvrzení (nelze nalézt sudé číslo, kterým bychom n nahradili, a podmínka byla splněna). Na těchto dvou příkladech je vidět, že volba čísel, která můžeme použít, je důležitá a může změnit pravdivost tvrzení).

Formální zápis výše uvedených formulí je následující. Mějme predikát $P(a,b,c)$ vyjadřující $a.b=c$ a predikát $Q(a)$ vyjadřující "a je sudé". Potom se formule "pro nějaké přirozené číslo n platí n·n = 25" dá vyjádřit jako

$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}.P(n,n,25)$

a formule „pro nějaké sudé číslo n platí n·n = 25“ jako

$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}.Q(n)\wedge P(n,n,25)$

Vztah k obecnému kvantifikátoru

Fakt, že existuje a splňující tvrzení $\varphi$ lze alternativně vyjádřit tak, že není pravda, že každé a nesplňuje $\varphi$. Platí tedy

• $\mathrm{\exists }\equiv \mathrm{\neg }\mathrm{\forall }\mathrm{\neg }$
• $\mathrm{\forall }\equiv \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }\mathrm{\neg }$

Kvantifikátor jednoznačné existence

V matematických zápisech je někdy potřeba vyjádřit, že počet prvků, které danou formuli splňují, je přesně jedna, například "Existuje právě jedno přirozené číslo n, které splňuje n.n=25" je pravdivá formule, ale formule "Existuje právě jedno sudé číslo n, které splňuje n.n=25" a "Existuje právě jedno sudé číslo" pravdivé nejsou. Ve formálních zápisech se potom místo $\mathrm{\exists }n$ používá $\mathrm{\exists }!n$.

Ve skutečnosti se ale $\mathrm{\exists }!$ dá vyjádřit pomocí samotného $\mathrm{\exists }$. Formule $\mathrm{\exists }!n\varphi$ totiž platí právě když platí $\mathrm{\exists }n(\varphi \wedge \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }k(k=n\wedge {\varphi }^{\prime }))$ kde formule ${\varphi }^{\prime }$ vznikne z $\varphi$ záměnou volných výskytů proměnné n za k.

Pro všechny formule $\varphi$ platí, že jestliže $\mathrm{\exists }!n\varphi$, pak i $\mathrm{\exists }n\varphi$, naopak to ale platit nemusí.

Kvantifikátor "existuje nekonečně mnoho"

Někdy je třeba vyjádřit, že existuje nekonečně mnoho prvků splňujících danou formuli. Například tvrzení "Existuje přirozené číslo n, které splňuje n < 17" je pravdivé tvrzení, zatímco "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n < 17" je nepravdivé.

Oproti tomu "Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n dělitelných pěti" je opět pravdivé tvrzení. V matematice se tento případ zapíše pomocí kvantifikátoru $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\exists }}$, tedy pokud P(a) je predikát „a>8“, vyjadřuje $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\exists }}n\in \mathbb{N}P(n)$ tvrzení „Existuje nekonečně mnoho přirozených čísel n takových, že n > 8“.

Pro všechny formule $\varphi$ platí, že jestliže $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\exists }}n\varphi$, pak i $\mathrm{\exists }n\varphi$, naopak to ale platit nemusí. Na druhou stranu pro žádnou formuli $\varphi$ nemůže zároveň platit $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\exists }}n\varphi$ a $\mathrm{\exists }!n\varphi$.

Kvantifikátor $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\exists }}$ nelze obecně v predikátové logice vyjádřit, pokud ale jsou ale prvky, přes které kvantifikujeme, lineárně uspořádány, lze formuli $\stackrel{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\exists }}n\varphi$ zapsat jako $\mathrm{\forall }k\mathrm{\exists }n(n>k\wedge \varphi )$.

Související články

• Kvantifikátor
• Kvantifikátor jednoznačné existence
• Obecný kvantifikátor