Eliptické funkce

Eliptické funkce jsou v matematické oblasti komplexní analýzy speciálním druhem meromorfních funkcí, které splňují dvě podmínky periodicity. Nazývají se eliptické funkce, protože pocházejí z eliptických integrálů. Původně se tyto integrály vyskytovaly při výpočtu délky oblouku elipsy. Důležitými eliptickými funkcemi jsou Abelovy a Jacobiho eliptické funkce a Weierstrassova funkce. Další rozvoj této teorie vedl k hypereliptickým funkcím a modulárním formám.

Definice

Eliptická funkce je taková meromorfní funkce $f$, pro kterou existují dvě komplexní čísla ${\omega }_1,{\omega }_2\in ℂ$, lineárně nezávislá nad množinou reálných čísel, tak, že:

$f(z+{\omega }_1)=f(z)$ a $f(z+{\omega }_2)=f(z)\mathrm{\forall }z\in ℂ$.

Eliptické funkce mají tedy dvě periody, a proto se také nazývají „dvojperiodické“.

Abelovy a Jacobiho funkce

Adrien-Marie Legendre studoval eliptické integrály, a jeho práci poté rozvinuli Niels Henrik Abel a Carl Gustav Jacobi.

Abel uvažoval integrální lichou funkci rostoucí na intervalu $⟨-\frac{1}{c},\frac{1}{c}⟩$:

$\alpha (x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{(1-c^2{t}^2)(1+e^2{t}^2)}}$,

jejíž inverzí $x=\phi (\alpha )$ získal funkce:

$f(\alpha )=\sqrt{1-c^2{\phi }^2(\alpha )}$$F(\alpha )=\sqrt{1+e^2{\phi }^2(\alpha )}$,

kde $c,e\in {ℝ}^{\mathbb{+}}$.

Jacobi uvažoval integrální funkci:

$\beta (x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}}$,

jejíž inverzí $x=\mathrm{sn}(\beta )$ získal funkce eliptický sinus (sn), eliptický cosinus (cn) a delta amplitudu (dn):

$\mathrm{cn}(\beta )=\sqrt{1-x^2}$$\mathrm{dn}(\beta )=\sqrt{1-k^2{x}^2}$,

kde $0<k<1$.

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat