Eliptické integrály

Eliptický integrál je v integrálním počtu jednou z řady příbuzných funkcí definovaných pomocí integrálů, které poprvé studovali Giulio Fagnano a Leonhard Euler okolo roku 1750. Jejich název pochází z toho, že původně vznikly v souvislosti s problémem nalezení délky oblouku elipsy.

Definice

Moderní matematika definuje eliptický integrál jako funkci $f$, kterou lze vyjádřit ve tvaru:

$f(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}R(t,\sqrt{P(t)})dt$,

kde $R$ je racionální funkce dvou proměnných, $P$ je polynom třetího nebo čtvrtého stupně bez násobných kořenů a $c$ je konstanta.

Druhy integrálů

Provedeme-li v Jacobiho integrálu substituci $t=\sin \phi$, dostaneme úplný eliptický integrál prvního druhu (s modulem k):

$F(k,\frac{\pi }{2})=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}$.

Úplný eliptický integrál druhého druhu máme ve tvaru:

$E(k,\frac{\pi }{2})=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }d\phi$

kde $0<k<1$.

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat