Dedekindův řez

Definice $\sqrt{2}$ pomocí Dedekindových řezů

Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel. Pojem je pojmenován po německém matematikovi Richardu Dedekindovi, jako první však reálná čísla s pomocí této konstrukce definoval francouzský matematik Joseph Bertrand v roce 1849.

Definice

Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.

Motivace

V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny – každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám o daném číselném oboru.

Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina" $\subseteq$ .

Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice celých čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.

Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu – to znamená, aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.

Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté MacNeilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům – lze ji použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.

Konstrukce zúplnění

Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.

Množina $S_A$ všech stabilních podmnožin nějaké množiny $A$ je úplný svaz. To znamená, že je uzavřen na suprema a infima – je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc, pokud je $A$ lineárně uspořádaná, pak je také $S_A$ lineárně uspořádaná (relací $\subseteq$ ).

Definujeme-li zobrazení $f:A⟹S_A$ předpisem $f(x)=\{y\in A:y\le x\}$, dostáváme izomorfní vnoření $A$ do $S_A$. Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v $A$. Pokud v $A$ neexistovala, pak v $S_A$ již (pro izomorfní obraz) existují.

Speciálně pro racionální čísla $Q$ je $S_Q$ izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.

Příklady

Množina $A_1=\{x\in Q:x<1\}$ má supremum v $Q$ - platí $sup{A}_1=1$. Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu $S_1=\{f(x)\in S_Q:f(x)<f(1)\}=\{(-\mathrm{\infty },x]:x<1\}$ a její supremum je $(-\mathrm{\infty },1]=f(1)$. Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.

Množina $A_2=\{x\in Q:x^2<2\}$ nemá v $Q$ supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v $S_Q$ získá: $S_2=\{f(x)\in S_Q:f(x^2)<f(2)\}$ má supremum $sup{S}_2=(-\mathrm{\infty },\sqrt{2}]$, které není obrazem žádného prvku z $Q$ .

Vysvětlení pro laiky

Jednoduše řečeno je Dedekindův řez zákonitost, která říká, že když „řízneme“ do číselné osy v náhodném místě, získáme nějaké číslo, které se v tom místě nachází. Neplatí tedy u všech číselných oborů.

Odkazy

Související články

• Stabilní množina
• Reálné číslo
• Úplný svaz

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld